Модель неполной третьей степени –

(6)

модель третьей степени –

(7)

а модель четвертой степени –

. (8)

Составление и реализация матрицы планирования

По выбранной аналитической модели составляется матрица планирования, то есть определяются те составы системы, экспериментальное исследование которых поможет рассчитать коэффициенты модели. Количество составов должно быть не меньше числа коэффициентов полинома выбранной модели, а расположение составов на диаграмме – обеспечивать “одинаковую” точность определения коэффициентов для всей системы. Решений о размещении экспериментальных точек может быть множество, однако на практике наиболее широко применяются симплекс-решетчатые, симплекс-центроидные планы Шеффе и некоторые другие.

Суть симплекс-решетчатого метода состоит в том, выбранные составы располагаются в определенных местах симплекса, обозначаемого диаграмму составов системы. По Н.С. Курнакову состав k – компонентной системы задается (k–1) – мерным симплексом. Симплексом в общем случае называется простейшая геометрическая фигура, образованная множеством (а+1) независимых точек в а-мерном пространстве и обладающая минимальным количеством вершин. Шеффе предложил размещать экспериментальные составы в определенных точках симплекса: в вершинах, на середине ребер, в центре граней, в центре симплекса, в зависимости от выбранной модели. Расположение точек на симплексе, получившее название симплексной решетки для разных моделей представлено на рисунке 1. Такое расположение отвечает требованию равномерного распределение точек, а кроме того позволяет легко решать систему полученных уравнений для нахождения коэффициентов полинома без применения сложного математического аппарата. Так наличие экспериментальных составов в вершинах симплекса дает возможность рассчитать коэффициенты _i. Например, в i-вершине х_i = 1 остальные х_j = 0, следовательно, Y_i = _ix_i, откуда _i = Y_i. Аналогично точки, лежащие на середине ребер, помогают рассчитать коэффициенты _ij и так далее.

Рисунок 1 – Симплексные решетки для трехкомпонентной системы: а – модель второй степени; б – модель неполной третьей степени; в – модель третьей степени; г – модель неполной четвертой степени; д – модель четвертой степени

После выбора модели переход к соответствующей симплексной решетке происходит автоматически, и составление матрицы планирования сводится к определению состава экспериментальных точек. Состав может быть задан в массовых долях, объемных, мольных. Массовые доли удобны в плане дозировки компонентов. Именно поэтому после определения составов в мольных или объемных долях следует сделать перерасчет на массовые для определения состава шихты, соответствующей определенной точке симплекса.

Пример составления матрицы планирования приведен в таблице 2.

Таблица 2 – Матрица планирования для трехкомпонентной системы, соответствующая модели третьей степени

№ опы- та	Обоз-наче- ние состава	Объемное соотношение компонентов в долях						Массовое соотношение компонентов в долях						Значение функции отклика, Yi
		х1		х2		х3		х1		х2		х3
1	х1		1		0		0								Y1
2	х2		0		1		0								Y2
3	х3		0		0		1								Y3
4	х112		0.667		0,333		0								Y112
5	х122		0.333		0.667		0								Y122
6	х223		0		0.667		0.333								Y223
7	х233		0		0.333										Y233
8	х113		0.667		0		0.333								Y113
9	х133		0.333		0										Y133
10	х123		0.333		0.333		0.333								Y123

Индексы у точек вводятся следующим образом:

– их общее число равно степени полинома;

– число неодинаковых индексов указывает на количество компонентов в данной смеси;

– число одинаковых индексов показывает долю компонента в смеси.

Например, х₁₁₂₃ – это состав плана 4-й степени, три разных индекса указывают на трехкомпонентную систему, всего индексов четыре (два раза 1 и по одному 2 и 3), следовательно, каждому индексу соответствует 0,25 (25%) компонента, т.е. данный состав содержит 50% первого компонента и по 25% второго и третьего.

Планы Шеффе обладают свойством композиционности, т.е. способностью достраиваться до моделей более высоких степеней. Так переход от модели 2-й степени до модели неполной 3-й степени требует постановки всего одного опыта в центре симплекса (х₁₂₃), а до неполной 4-й степени – трех опытов (х₁₁₂₃, х₁₂₂₃, х₁₂₃₃).

После реализации соответствующего плана проводят вычисление коэффициентов полинома и производят статистический анализ результатов эксперимента.

Алгоритм расчета по эксперименту

Для проверки полученной модели на адекватность необходимо знать среднеквадратичную погрешность опыта. Для определения среднеквадратичной погрешности опыта необходимо провести следующие расчеты:

1. Для каждого из составов по данным r параллельных опытов определяется среднее значение Y_срj.

Далее вычисляются коэффициенты _i (Приложение 2)

2. Вычисляется оценка дисперсии (S²) для каждой серии параллельных опытов по формуле:

(9)

где i – номер опыта; j – номер состава.

3. Вычисляется средняя дисперсия m серий параллельных опытов, т.н. дисперсия воспроизводимости:

(10)

и производится оценка дисперсии среднего значения:

(11)

4. Вычисляется среднеквадратичная погрешность опыта:

(12)

На основании дисперсии опыта может быть рассчитана точность предсказания функции отклика в какой-либо точке симплекса. За меру точности предсказания принимается дисперсия предсказанного значения, которая рассчитывается по формуле:

, (13)

где S_y² – дисперсия предсказанного значения функции отклика; S²_yопыт – дисперсия опыта; r – число наблюдений в точке симплекса, одинаковое для всех точек (в случае неодинакового числа наблюдений расчет значительно усложняется);  – величина, определяемая положением состава на симплексе.

Для различных моделей тройных систем значения  берут с «контурных карт» (Приложение 3), а в случае их отсутствия и для систем с большим числом компонентов рассчитывают по соответствующим формулам.