2.2. Визначений інтеграл

Нехай на відрізку [a;b] задана функція f(x). Розіб’ємо цей відрізок довільно на n частин: a=x₀<x₁<x₂<…<x_k<…<x_n-1<x_n=b, x_k=x_k-1-x_k (k=1,2,..n). На кожному з відрізків виберемо довільно точку _k (x_k-1  _k  x_k) складемо суму:.

Ця сума має назву інтегральної суми функції f(x) на [a;b] і залежить від способу розбиття [a;b] на частини та від вибору точок _k на кожному x_k.

Число I називають границею інтегральної суми S_n за умови якщо для таке, що при виконанні умови незалежно від способу складання S_n має місце умова:

Границя інтегральної суми за умови називається визначеним інтегралом функції f(x) на [a;b] і позначається , де - знак інтеграла, x – змінна інтегрування, f(x) – підінтегральна функція, f(x)dx – підінтегральний вираз, числа a і b – нижня та верхня межі інтегрування. Саму функцію f при цьому називають інтегрованою за Ріманом або просто інтегрованою на відрізку [a;b]. Таким чином, за означенням

Геометричний зміст визначеного інтеграла. Якщо f(x) неперервна і невід’ємна на [a;b], то визначений інтеграл дорівнює площі криволінійної трапеції обмеженої графіком функції у= f(x), віссю Ох, прямими х=а, х=b.

Фізичний зміст визначеного інтеграла. Якщо f(x) неперервна на [a;b], то визначений інтеграл дорівнює роботі сили, проекція вектора якої на вісь Ох дорівнює f(x), при переміщенні точки прикладання сили з положення a в b:

1) Якщо a=b, то S=А=0

2) При зміненні напряму переміщення точки прикладання сили, роботу треба помножити на (-1).

Необхідна умова інтегрованості. Якщо функція f(x) інтегрована на [a;b],то вона обмежена на цьому відрізку.

Нижньою (верхньою) сумою Дарбу функції f(x), обмеженої на відрізку [a;b], називають суму ( ).

,

Теорема. Для того, щоб функція у=f(x) обмежена на [a;b] була інтегрованою на [a;b] необхідно і достатньо, щоб виконувалась умова або, що рівносильно умові: для таке, що при виконанні умови незалежно від способу розбиття відрізку [a;b] на частини має місце умова:

Достатні умови інтегрованості функції за Ріманом

Функція у=f(x) інтегрована за Ріманом на відрізку[a;b], якщо виконується хоча б одна з умов:

1. f(x) є неперервною на відрізку [a;b];

2. f(x) на відрізку [a;b];

3. f(x) є монотонною на відрізку [a;b];

4. f(x)є обмеженою на відрізку та має на [a;b] не більше ніж зчислену множину точок розриву.

Для обчислення визначеного інтеграла застосовують формулу, яка зв’язує визначений інтеграл та первісну функцію. Ця формула має вигляд

де F(x) – первісна функція, а a та b – межі (границі) інтегрування і її називають формулою Ньютона-Лейбніца.

Приклад 22. Обчислити інтеграл .

Розв’язання. При обчисленні визначеного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца необхідно знайти первісну функцію для функції . Одержимо

Приклад 23. Обчислити інтеграл

Розв’язання.

Приклад 24. Обчислити інтеграл

Розв’язання. Для знаходження первісної в заданому інтегралі необхідно застосувати метод заміни змінної. Разом із заміною змінної поміняємо межі інтегрування. Одержимо

Приклад 25. Обчислити інтеграл

Розв’язання. Для знаходження первісної в заданому інтегралі необхідно застосувати метод інтегрування частинами.

Нехай , тоді одержимо: