§3. Линейные уравнения второго порядка
1. Основные понятия. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида
,
(1)
где
– функции непрерывные в некотором
промежутке
.
Уравнение
(1) называется линейным
неоднородным,
или уравнением
с правой
частью, если
.
Если
,
то уравнение называется линейным
однородным.
Однородное уравнение с той же левой
частью, что и данное неоднородное,
называется соответствующим
ему.
Теорема
1.
Общее решение
линейного неоднородного уравнения
складывается из общего решения
соответствующего ему однородного
уравнения и частного решения
неоднородного:
.
2. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами.
,
(2)
Характеристическим
уравнением называется
уравнение
.
Его корни обозначим через
и
.
Теорема 2. 1) Если корни и характеристического уравнения – вещественны и различны, то общим решением однородного уравнения является функция
.
(2.1)
2)
Если
,
то
.
(2.2)
3)
Если корни
,
– комплексно-сопряженные числа:
;
,
то
.
(2.3)
Пример
1. Найти общее решение уравнения
.
Решение.
Характеристическое уравнение
имеет корни
;
Согласно (2.1),
.
Пример
2. Найти частное решение уравнения
,
если
;
.
Решение.
.Так
как данное характеристическое уравнение
имеет двойной корень
,
то, согласно (2.2),
.
Используя начальные условия, находим и :
;
;
;
,
.
Подставив найденные
и
в общее решение, получим искомое частное
решение
.
Пример
3. Найти общее решение уравнения
;
Решение.
Характеристическое уравнение
имеет корни
.Согласно
(2.3),
.
Пример
4. Найти общее решение уравнения
.
Решение.
Характеристическое уравнение
имеет корни
.
Согласно (2.3),
.
3.
Линейные
неоднородные уравнения с постоянными
коэффициентами.
Подбор
частного решения методом неопределенных
коэффициентов. Метод
неопределенных коэффициентов применим
только в том случае, когда правая часть
уравнения
имеет вид квазиполинома:
,
,
(2.4)
где
и
— многочлены степеней
и
соответственно.
Теорема
3. Частное
решение
линейного неоднородного дифференциального
уравнения с правой частью (2.4) следует
искать в виде
,
(2.5)
где
,
– показатель кратности корня
в характеристическом уравнении
соответствующего однородного уравнения,
(если
не является корнем, то
),
и
– многочлены степени
с неопределенными коэффициентами.
Неопределенные коэффициенты находятся из тождества, которое получится, если подставить в заданное уравнение. Если
,
(2.6)
то
.
Многочлены
с неопределенными коэффициентами
записываются так:
;
;
и т.д.
Если
,
(2.7)
то
.
Если
в функцию
входит только
или
,
в частное решение
надо включать оба слагаемых.
Согласно
теореме 1, общее решение
неоднородного
уравнения складывается из общего решения
однородного
уравнения (теорема 2) и частного решения
неоднородного
уравнения (теорема 3).
Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение.
Общее решение данного уравнения имеет
вид
,
где
— общее решение соответствующего
однородного уравнения
,
а
— частное решение данного уравнения.
Решая характеристическое уравнение
,
найдем его корни:
.
Из (2.2) следует
.
Так как
,
,
то, согласно (2.6), частное решение ищем в виде:
;
коэффициенты и определим из условия, что – решение данного уравнения. Подстановка функций ,
,
,
в уравнение дает
(после сокращения на
)
,
т.е.
.
Для того чтобы равенство было тождеством,
достаточно совпадения коэффициентов
при одних и тех же степенях
в обеих частях равенства, т.е.
.
Из этих уравнений
находим
,
.
Следовательно, функция
является частным решением данного
уравнения, а функция
– его общим решением.
Пример
6. Найти общее решение дифференциального
уравнения
.
Решение.
Корни характеристического уравнения
,
.
Из (2.1) следует
.
Правая часть имеет
вид (2.6),
;
,
поэтому
.
Следовательно,
Постановка в
уравнение и сокращение на
дает
,
,
;
,
.
Тогда
.
Общее решение данного уравнения , т.е.
.
Пример
7. Найти общее решение уравнения
.
Решение.
Здесь
,
,
;
(корень характеристического уравнения
кратности 2, многочлен нулевой степени
— постоянная). Поэтому
,
.
Тогда
,
.
Пример 8. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение.
Характеристическое уравнение
имеет корни
и поэтому по формуле (2.3):
.
Функция
имеет вид (2.7) (
),
,
поэтому
подстановка в дифференциальное уравнение дает
.
Для того, чтобы
это равенство выполнялось торжественно,
достаточно совпадения коэффициентов
при
и
обеих частях равенства, т.е.
Отсюда
,
,
следовательно,
,
и общее решение данного уравнения
.
Пример 9. Указать вид частного решения дифференциального уравнения
.
Решение.
Здесь характеристическое уравнение
имеет корни
,
правая часть
имеет вид (2.4),
;
;
;
(многочлен первой степени), по теореме
3 вид частного решения определяется
(2.5):
,
так как
.
4. Линейные неоднородные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных. Частное решение неоднородного уравнения может быть найдено вариацией произвольных постоянных.
Сущность
метода в следующем: пусть
общее решение соответствующего
однородного уравнения. (для уравнений
с постоянными коэффициентами оно
определяется теоремой 2)
и
— постоянные.
(2.8)
будет
частным решением неоднородного уравнения,
если функции
и
удовлетворяют системе уравнений
Решив
эту систему, найдем
и
,
проинтегрировав найденные функции,
получим
и
,
подставив в (2.8), имеем частное решение
неоднородного уравнения.
Пример
10. Найти общее решение уравнения
.
Решение.
Характеристическое уравнение
имеет корни
,
.
Найдем частное решение неоднородное уравнения методом вариации произвольных постоянных.
Здесь
,
.
Тогда
,
если
Система имеет единственное решение, так как ее определитель отличен от нуля:
.
Решив систему,
найдем
,
,
следовательно,
,
,
