• Часть 1 содержала основные понятия и операции алгебры и основывалась на работе Эйлера, которая была доработана и снабжена новыми примерами;

• Часть 2 - начальные основания геометрии;

• Часть 3 включала в себя приложение алгебры к геометрии, плоскую тригонометрию, конические сечения, основания дифференциального и интегрального исчисления.

Н.И. Фусс принимал активное участие в развитии отечественного гражданского образования. Будучи членом комитетов по пересмотру уставов Московского и Виленского университетов, участвовал в усовершенствовании университетского и гимназического уставов. Являясь членом Главного правления училищ, он принимал деятельное участие в реформе отечественного школьного образования. В основу вышедших в январе 1803 года «Предварительных правил народного просвещения» положен проект, предложенный Фуссом.

Заметим, что, будучи методистом и геометром, Фусс всё-таки не понял прогрессивного характера учебника Н.И. Лобачевского «Геометрия» (1823, опубликован 1909), на рукопись которого он дал в 1825 году резко отрицательный отзыв.

Итак, хотя Николай Иванович Фусс – иностранец по происхождению, он стал истинным гражданином России, человеком русской культуры и, равно как его предшественники Л. Эйлер, Крафт и др., явился основателем династии русских математиков. Почти 80 лет члены семьи Фуссов были связаны с Санкт-Петербургской Академией наук, и на протяжении 55 лет Н.И. Фусс и его сын П.Н. Фусс были непременными её секретарями.

Учениками Эйлера были его старший сын Иоганн-Альбрехт Эйлер (1734-1800) и Вольфганг-Лудвиг Крафт (1743-1814).

Иоганн Альбрехт был старшим из тринадцати детей Леонарда Эйлера, восемь из которых умерли в младенчестве. Он родился в Петербурге и 6 лет от роду перевезён был родителями в Берлин, где и получил тщательное воспитание под руководством отца. Рано обнаружив большие способности и склонность к математическим занятиям, Иоганн впоследствии стал выдающимся математиком и в 20 лет был выбран уже членом Берлинской королевской академии. В 1758 г. Эйлер недолгое время пробыл директором Института астрономических расчётов в университете Гейдельберга.

В 1766 г. Иоганн Эйлер возвращается со своим отцом в Петербург, к этому моменту он является профессором физики. Императрица Екатерина Великая, высоко ценя ученые заслуги старика Эйлера, назначила его сына в 1769 г. конференц-секретарём Академии Наук. Одновременно он состоял инспектором военных учебных заведений. Некоторое время Эйлер читал лекции по физике в С.-Петербургском университете, работал совместно со своим отцом в нескольких последних проектах отца, а также над проектом теории луны Крафта и Лекселя. В 1771 г. его избрали иностранным членом Шведской королевской академии наук.

Эйлер помещал свои мемуары по различным вопросам математики, физики, механики, небесной механики и астрономии в изданиях почти всех европейских академий. Его мемуары насчитывают более 30 статей, 5 из них были удостоены премии обществом Геттингена, академий Санкт-Петербурга, Парижа и др. Собственно математикой он занимался мало, известна, в частности, только одна математическая статья по вариационному исчислению, напечатанная в трудах мюнхенской Академии (1767).

Вольфганг Лудвиг (Логин Юрьевич) Крафт (1743-1814), сын академика Г.-В. Крафта, родился в Петербурге. Когда Георгу исполнился год, его семья переехала в Тюбинген (Германия), где отец стал преподавать в местном университете. В детстве Вольфганга прочили в священники, однако он решил пойти по стопам отца. Первая статья Крафта под названием «Об отношении весов на полюсе и экваторе» вышла в Тюбингене (1764). В 1767 г. он вернулся в Россию и был принят в качестве сотрудника в штат академической экспедиции в Оренбург для наблюдения за прохождением Венеры по диску Солнца (1769 г.). Вышеназванная работа послужила Крафту в качестве диссертации, и в 1768 г. он был избран адъюнктом, а в 1771 г. – ординарным академиком Петербургской АН.

Крафт с 1767 г. работал в Петербургской АН, и интересы его были весьма разнообразны:

• наблюдал кометы, рассчитывал орбиты комет и планет,

• провел обширные наблюдения магнитного склонения в различных пунктах России и определял географические координаты, используя астрономические наблюдения;

• вёл демографические наблюдения, на основе которых сформулировал требования, предъявляемые к статистическим данным о народоселении, ввел показатели плодовитости и смертности, вывел формулу для вычисления прироста населения, в частности, формулу для периода удвоения числа жителей.

В.Л. Крафту принадлежат 3 мемуара математического содержания, среди которых наибольшее значение имеет «Трактат о простых числах». Работая вместе с Эйлером, он помогал ему в вычислениях.

В 1782 г. Крафта назначили профессором математики в Сухопутном кадетском корпусе, затем профессором в Инженерном корпусе, профессором в Императорской академической гимназии, он написал несколько учебников для ее учеников. Кроме того, он преподавал в Горном институте. Учил математике детей императора Павла - великих князей Константина, Николая, Михаила и великих княжон. В честь Крафта назван лунный кратер диаметром 51 километр.

Андрей Иванович Лексель (Андерс Йохан) (1740-1784) русский астроном, математик и физик шведского происхождения, проведший в России большую часть жизни. Лексель родился в Або (Финляндия), закончил Абосский университет и в нём же затем преподавал математику. В 1769 г. по предложению своего друга - Л. Эйлера - приехал в Петербург, где работал под его руководством. В 1771 г. был избран ординарным академиком по кафедре физики и стал членом Петербургской Академии наук.

Лексель сделал важные открытия в небесной механике:

• вычислил орбиты для некоторых комет, указав, что причиной изменения орбиты одной из них (комета Лекселя) является возмущающее влияние Юпитера;

• установил, что новый объект, открытый У. Гершелем (1781), вовсе не комета, а планета, названная впоследствии Уран.

Но он был, по мнению французской энциклопедии, и выдающимся математиком своего времени, пополнившим сферическую тригонометрию оригинальными и интересными результатами, которые он использовал для исследования движения планет и комет.

Свои математические работы Лексель посвятил классификации видов интеграла

, которые изучал Эйлер,

определению прямым путём условий, при которых дифференциальная функция - го порядка является полной производной дифференциальной функции - го порядка .

Следуя Даламберу, Лексель решал дифференциальные уравнения типа

а также рассматривал более общую систему уравнений.

Лекселю принадлежат значительные результаты в области сферической геометрии. В мемуаре «О свойствах кругов, описанных на поверхности шара» он показал, что геометрическим местом вершин всех треугольников с общим основанием и равной площадью является малая окружность и вывел формулы для определения углов треугольника через их стороны и величину

где , ,

а также формулы для определения сторон треугольника через углы и величину

где , . Эти формулы вошли в учебную литературу как формулы Лекселя.

Сферической геометрии до Лекселя практически не было, поэтому 4 его мемуара, относящиеся к этой отрасли математики, являются основополагающими. В основу своих исследований Лексель положил рассмотрение свойств кругов, построенных на сфере. Наиболее известна его теорема о геометрическом месте высот треугольников, имеющих одно основание и равные площади (теорема Лекселя). Исследования Лекселя по сферической геометрии продолжили Н.И. Фусс и Ф.И. Шуберт.

Лексель был одним из самых плодотворных членов Российской академии того времени, опубликовав 66 работ за 16 лет, которые он там проработал. Леонард Эйлер высоко отзывался о его работах: «Кроме Лекселя такую статью мог бы написать только Даламбер или я». Даниил Бернулли также хвалил его работы: в письме Иоганну Эйлеру он отмечал: «Я люблю работы г. Лекселя, и глубокие, и интересные, ценность которых ещё повышается его редкой скромностью, украшающей великих людей».

Лексель не обзавёлся семьёй и был очень дружен с Леонардом Эйлером и его домочадцами. Он был с Эйлером, когда тот умер, и сменил его на посту заведующего математическим отделом Петербургской академии наук, но сам умер на следующий год. В его честь названы астероид (2004) Лексель, а также лунный кратер Лексель.

(Фридрих Теодор) Федор Иванович Шуберт (1758-1825) - русский математик, астроном, геодезист и популяризатор науки немецкого происхождения. Родился в Германии в семье известного ученого богослова и оратора Иоанна Эрнста Шуберта. В 1783 переехал в Россию в Ревель, а в 1785 был определен географом при Петербургской академии наук, причем первым его делом в связи с этой должностью было устройство поврежденного пожаром Готторского глобуса. Адъюнкт Петербургской академии наук (c 1786) и академик c 1789. С 1804 г. заведовал академической обсерваторией, занимался вопросами мореходной астрономии, по его инициативе были созданы морские астрономические обсерватории в Николаеве и Кронштадте.

В астрономии основные труды Шуберта относятся к практической астрономии и небесной механике:

• разрабатывал теории движения Марса, Луны, Урана, Цереры,

• участвовал вместе с сыном в неудачной российской экспедиции в Китай (1805);

• произвел магнитные наблюдения по маршруту Петербург - Казань - Тобольск – Иркутск.

Наряду с научной работой, занимался популяризацией астрономии, в Петербурге в 1798 впервые опубликовал курс теоретической астрономии «Учебная книга теоретической астрономии», который по предложению П. С. Лапласа был переведен на французский язык и издан в Западной Европе. Автор «Руководства к астрономическим наблюдениям…» (1803) Широкую известность имела его книга «Популярная астрономия» (части 1-3, 1804-1810), в которой описана история астрономии от древности до появления «Небесной механики» Лапласа.

Математике посвящено 30 мемуаров Шуберта. Работы, связанные с астрономией и картографией относятся к сферической геометрии, в частности, мемуар «Задачи науки сферики», в котором решены 4 задачи на отыскание геометрических мест вершин треугольников с некоторыми заданными элементами.

Шуберт изучил свойства локсодромы, в работах 1788-89 ввёл термины «конформная проекция». Кроме того, у Шуберта имеются труды по алгебре и теории особых точек кривых. Для топографов генерального штаба Шуберт составил учебник «Курс высших частей чистой математики».

С 1808 по 1818 издавал календари «Карманный месяцеслов» и «Морской месяцеслов» для нужд морского флота, с 1810 по 1825 редактировал выходившую в Санкт-Петербурге на немецком языке газету St.- Petersburger Zeitung.

В 1813 Шуберт был принят в число почётных членов государственного адмиралтейского департамента, а в 1816 произведён в действительные статские советники, награждён орденом Святого Владимира 4-й степени, впоследствии орденом Святого Владимира 3-й степени и орденом Святой Анны 2-й степени с алмазами.

Его сын, Ф. Ф. Шуберт, был учёным-геодезистом, генералом от инфантерии и руководителем Корпуса военных топографов Российской армии. Правнучка - С. В. Ковалевская - известный математик.

Кончина Шуберта, по признанию современников, была большой потерей для ученого мира вообще и для нашей Академии Наук в частности. Как человек, Шуберт отличался любовью к истине, замечательной честностью и неутомимым трудолюбием; глубоко серьезный ученый, он не был чужд и искусству: музыка была его страстью, и артистическая игра на фортепиано, а также на флейте и скрипке была его любимым отдыхом от научных занятий.

Таким образом, в круг ближайших учеников и преемников Эйлера по ПАН входят 2 группы воспитанных им учёных: группа иностранцев, прибывших в Россию и подобно учителю, нашедших там вторую родину, и группа учеников различных русских школ, отобранных сначала в академическую гимназию, затем в академический университет, а затем. посланные за границу к Эйлеру.