47. Условия теоремы Гаусса-Маркова для модели парной регрессии

1. Случайный член регрессии в каждом наблюдении имеет нулевое математическое ожидание для любого i. Иногда случайный член может быть положительным, иногда отрицательным, но он не должен иметь систематическое смещение ни в одном из двух возможных направлений. Фактически если уравнение регрессии включает постоянный член, то разумно предположить, что это условие выполняется автоматически, так как роль константы состоит в определении любой систематической тенденции в y , которую не учитывают объясняющие переменные включенные в уравнение регрессии.

2. Дисперсия случайного члена регрессии не зависит от номера наблюдения не зависит от i. Иногда случайный член будет больше, иногда меньше, однако не должно быть априорной причины для того, чтобы он порождал большую ошибку в одних наблюдениях, чем в других. для всех i. Т.к. и , условие можно переписать в виде для всех i. Одной из задач регрессионного анализа является оценка стандартного отклонения случайного члена. Если рассматриваемое условие не выполняется, то коэффициенты регрессии, найденные по МНК, будут неэффективны, более надежные результаты будут получены путем применения модифицированного метода регрессии.

3. Случайные члены регрессии в разных наблюдениях не зависят друг от друга , если i≠j. Например, если случайный член велик и положителен в одном наблюдении, это не должно обусловливать систематическую тенденцию к тому, что он будет большим и положительным в следующем наблюдении (или большим и отрицательным, или малым и положительным, и малым и отрицательным). Случайные члены должны быть абсолютно не зависимы друг от друга. Если это условие не выполняется, то регрессия, оцененная по МНК, дает неэффективные результаты.

4. Случайный член регрессии и объясняющая переменная в каждом наблюдении независимы друг от друга для любого k. Значение любой независимой переменной в каждом наблюдении должно считаться экзогенным, полностью определяемым внешними причинами, не учитываемыми в уравнении регрессии.

Если выполнены условия Гаусса-Маркова для модели парной регрессии, то МНК дает несмещенные, эффективные и состоятельные оценки параметров регрессии a и b.

48. Стандартное отклонение случайной величины

Корень квадратный из теоретической дисперсии случайной величины; среднее ожидаемое расстояние между наблюдениями этой величины и ее математическим ожиданием.

49. Стандартные отклонения коэффициентов регрессии. Формулы расчета

;

50. Стандартная ошибка случайной величины

Оценка стандартного отклонения случайной величины, полученная по данным выборки.

51. Стандартные ошибки коэффициентов регрессии. Формулы расчета

;

52. Что такое нулевая гипотеза

Н₀ :Утверждение о том, что неизвестный параметр модели принадлежит заданному множеству А. Например,

53. Что такое альтернативная гипотеза

Н₁: Утверждение о том, что неизвестный параметр модели принадлежит другому заданному множеству В, А∩В=Ø. Например,

54. Что такое уровень значимости

Чем меньше вероятность получения регрессии, подобной той, что исследователь получил при условии правильности гипотезы, тем больше вероятность отказа от гипотезы и выбор альтернативного варианта. В большинстве работ по экономике критический уровень берется 5% или 1%. Если выбирается уровень 5%, то переключение на альтернативную гипотезу происходит, когда при истинности нулевой гипотезы вероятность получения столь пограничного («экстремального») значения b составляет менее 5%. В этом случае говорят, что нулевая гипотеза должна быть отвергнута при 5%-ном уровне значимости. Это происходит в случае отклонения величины b от β₀ более, чем на 1,96 стандартного отклонения. (см. табл. Нормального распределения).

55. Область принятия гипотезы

Множество значений оценок параметра, при попадании в которое нулевая гипотеза не отвергается.

56. Что такое ошибка первого рода

Ситуация, когда оценка параметра не попала в область принятия нулевой гипотезы, нулевая гипотеза была отвергнута, а она была истинной.

57. Что такое ошибка второго рода

Ситуация, когда не отвергнута ложная гипотеза.

58. Что такое нелинейная по переменным модель

Нелинейная по переменным модель – нелинейная модель , в которой возможна замена переменной , приводящая получившуюся модель - к линейной

59. Что такое нелинейная по параметрам модель

Нелинейная по параметрам модель – модель, которую нельзя привести заменами переменных к линейной.

60. Что такое логарифмическое преобразование. Когда применяется

Рассмотрим далее функции, которые являются нелинейными как по параметрам, так и по переменным:

Если обозначить , , , то уравнение (8) можно переписать в следующем виде:

.

Процедура оценивания регрессии следующая:

1. Вычисляется и для каждого наблюдения путем взятия логарифмов от исходных значений.

2. Оценивается регрессионная зависимость от . Коэффициент будет представлять собой непосредственную оценку β. Постоянный член является оценкой , т.е. . Для получения оценки α необходимо вычислить .

Логарифмическое преобразование – переход от нелинейной и по переменным и по параметрам модели к логарифмической модели .