- •Курс лекций по дисциплине
- •230103 «Автоматизированные системы обработки информации и управления» (по отраслям)
- •230106 «Техническое обслуживание средств вычислительной техники и компьютерных сетей»
- •Часть III
- •Аннотация
- •Содержание
- •Введение
- •Глава 3.7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Понятие дифференциального уравнения
- •Лекция 38. Дифференциальные уравнения: основные понятия
- •Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка
- •Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.
- •Приложение дифференциальных уравнений.
- •Лекция 39. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Понятие однородного дифференциального уравнения первого порядка
- •Методика решения однородных дифференциальных уравнений первого порядка
- •Лекция 40. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Понятие линейного дифференциального уравнения первого порядка
- •Методика решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
- •Лекция 41. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Простейшие дифференциального уравнения второго порядка
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Раздел 4. Основы теории комплексных чисел
- •Лекция 42. Алгебраическая форма комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
- •Понятие мнимой единицы.
- •Пример 42.1. Вычислить: .
- •Алгебраическая форма комплексного числа.
- •Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
- •Пример 42.2. Для комплексных чисел и найти: а) ; б) ; в) .
- •Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.
- •Пример 42.4. Решить уравнение: .
- •Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
- •Лекция 43. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
- •Понятие модуля и аргумента комплексного числа.
- •Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •П ример 43.1. Изобразите на комплексной плоскости числа: , , .
- •Пример 43.2. Для комплексных чисел , найдите: а) ; б) ; в) ; г) .
- •Лекция 44. Переход между различными формами комплексных чисел.
- •Переход от тригонометрической и показательной формы
- •Переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной.
- •Раздел 6. Численные методы
- •Лекция 45. Приближенные величины. Действия с приближенными числами
- •Приближенные значения величин. В большинстве случаев при измерениях, вычислениях, выполнении операций над действительными числами получаются не точные, а приближенные значения величин.
- •Абсолютная погрешность.
- •Пример 45.1. При измерении диаметра детали, точное значение которого равно 25,2 мм, было получено приближенное значение 25 мм. Оцените абсолютную погрешность проведенного измерения.
- •Относительная погрешность.
- •Пример 45.2. Найти относительную погрешность измерения диаметра детали в примере 45.1.
- •Пример 45.3. При измерении длины l и диаметра d кабеля были получены значения м, мм. Оцените границы относительной погрешности и . Какое измерение проведено точнее?
- •Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры.
- •Пример 45.4. Найдите верные и сомнительные цифры в записи числа .
- •Погрешности вычислений с приближенными данными.
- •Пример 45.6. Произвести действия с приближенными числами:
- •Лекция 46. Методы приближенного решения алгебраических и трансцендентных уравнений
- •Понятие алгебраического и трансцендентного уравнения и методов их приближенного решения. Введем понятия алгебраического и трансцендентного уравнения.
- •П ример 46.1. Определить промежуток, которому принадлежат корни уравнения .
- •Метод хорд.
- •Метод касательных.
- •Лекция 47. Приближенные методы вычисления определенных интегралов
- •Ф ормулы прямоугольников
- •Пример 47.1. Вычислите определенный интеграл :
- •Формула трапеций
- •Формула парабол (Симпсона)
- •Лекция 48. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом эйлера
- •Задача численного решения дифференциальных уравнений.
- •Метод Эйлера.
- •Список использованной литературы
- •Справочные материалы дифференциальные уравнения
- •Операции над комплексными числами
Введение
Перед Вами третья часть курса лекций по дисциплине «Математика (Элементы высшей математики)».
Цель данного курса лекций: помочь студентам преодолеть трудности, связанные с изучением основ высшей математики, показать сферы приложения теоретических знаний к решению задач. Теоретический материал в пособии изложен простым, доступным, но по возможности строгим языком. Приведен план каждой лекции, который поможет студенту видеть структуру изучаемого материала, а при подготовке к экзамену продумать план своего ответа на каждый экзаменационный вопрос.
Все математические понятия, формулы и теоремы подчеркнуты, выделены жирным шрифтом или курсивом. Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается рассмотрением примеров и разбором решения ключевых задач. Всё это дает возможность студенту, пропустившему лекцию, разобраться в изучаемом материале за ограниченное число дней.
Для лучшего понимания и усвоения материала в работе приводятся рисунки, схемы, таблицы. Благодаря им обучение становится более наглядным и доступным. В конце каждой лекции даны контрольные вопросы, позволяющие студенту оценить степень сформированности своих знаний.
При решении задач из раздела "Численные методы" приходится выполнять достаточно сложные и громоздкие расчеты. Чтобы избежать трудностей, а также применить знания, полученные при изучении специальных дисциплин, автор предлагает все расчеты выполнять в электронных таблицах Microsoft Excel.
Каждая глава курса лекций содержит краткий экскурс в историю возникновения изучаемого раздела математики. В приложении приведены основные справочные материалы, включающие в себя все важнейшие формулы из рассматриваемых разделов курса.
Третья часть курса лекций включает в себя материал к трем разделам дисциплины «Математика (Элементы высшей математики)»:
основы математического анализа:
обыкновенные дифференциальные уравнения;
основы теории комплексных чисел;
численные методы.
Курс лекций разработан в соответствии с рабочей и примерной программами для специальностей 230103 «Автоматизированные системы обработки информации и управления» (по отраслям), 230106 «Техническое обслуживание средств вычислительной техники и компьютерных сетей».
Данный курс лекций может быть использован преподавателями математики при подготовке и проведении занятий, а также студентами колледжа при самостоятельном изучении материала.
Глава 3.7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Различные проблемы, занимавшие математиков в конце XVII и начале XVIII столетий, привели к необходимости введения такого понятия как дифференциальные уравнения. Поскольку в дифференциальных уравнениях присутствуют производные или дифференциалы функций, то первые дифференциальные уравнения появились в работах создателей интегрального и дифференциального исчисления Исаака Ньютона (1643-1727) и Готфрида Лейбница (1646-1716). Именно Ньютон в 1687 году в своих «Началах» решил дифференциальное уравнение первого порядка.
Проблемой решения дифференциальных уравнений были заняты многие математики того времени. Особо следует отметить Иоганна (1667–1748) и Якоба (1654–1705) Бернулли, предложивших решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными, однородных и линейных. Но все применявшиеся ими методы по большинству были разрозненными, единой стройной теории дифференциальных уравнений не существовало.
Методическая разработка теории дифференциальных уравнений была начата известным математиком Леонардом Эйлером (1707-1783). Вместе с ним большой вклад в развитие методов решения дифференциальных уравнений внесли французские математики Жан Даламбер (1717-1783), Жозеф Лагранж (1736-1813), Пьер Лаплас (1749-1827), немецкий математик Бернхард Риман (1826-1866). Самое главное заключается в том, что решение подобных уравнений было необходимо для практических нужд, поскольку именно присутствующая в дифференциальных уравнениях производная описывает скорость изменения различных процессов. Некоторые виды дифференциальных уравнений появились при решении задач о колеблющихся струне и колеблющейся мембране. Даламбер сформулировал правила составления дифференциальных уравнений при движении материальных систем. Дифференциальные уравнения стали основой работ Леонарда Эйлера «Физическое исследование причины морских приливов и отливов», «Исследования по вопросу о неравенствах в движении Сатурна и Юпитера», «Исследование возмущений, которые испытывает движение планет от их взаимодействия».
Нельзя не сказать о вкладе французского математика Огюстена Коши (1789-1857) в теорию дифференциальных уравнений. Он впервые поставил общую задачу о нахождении решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями (называемую с тех пор задачей Коши), дал способ интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных.
Известными авторами фундаментальных трудов по дифференциальным уравнениям являются французкий математик Жак Адамар (1865-1963), российские математики Владимир Игоревич Арнольд (род. 1937 г.), Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987).