Лекция №10 Компакты в

Определение 2.11. называется компактом, если из любого покрытия этого множества системой открытых множеств можно выделить конечное подпокрытие.

Из любой системы открытых множеств такой, что можно выделить конечную подсистему

Определение 2.12. Множество называется ограниченным, если существует открытый шар или если конечен, где – диаметр множества:

Утверждение 2.7. – компакт ограничен.

◄ От противного. Пусть множество неограничено , где – радиус шара. Из этой системы нельзя выделить конечное подпокрытие, т.к. неограничено – противоречие с тем, что компакт. ►

Теорема 2.1 (Больцано – Вейерштрасса). Из любой последовательности точек, принадлежащих компакту , можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к : ,

(Любое бесконечное множество, лежащее в компакте , имеет предельную точку .)

◄ Обозначим , . Предположим противное, пусть , х – не предельная для , в которой нет точек множества либо их конечное число.

(в силу определения компакта). Но в содержится бесконечное число точек множества , а в правой части последнего включения их конечное число и мы пришли к противоречию. ►

Утверждение 2.8. – компакт замкнут: = .

◄ Пусть , х – предельная точка для

В силу теоремы Больцано – Вейерштрасса предельная точка x = . ►

Обозначим = { | | , x = ( )} – замкнутый куб.

Утверждение 2.9. Замкнутый куб – компакт.

◄ В : – куб в компакт.

Докажем утверждение для Предположим и из этого покрытия нельзя выделить конечное подпокрытие. Строим систему вложенных квадратов , каждый из которых не допускает конечного покрытия. Проецируем квадраты на координатные оси и применяем лемму Коши-Кантора: и . При достаточно большом квадрат а это противоречит тому, что не допускает конечного покрытия. ►

Утверждение 2.10. Любое замкнутое множество, принадлежащее компакту, само является компактом.

и – замкнуто, компакт, тогда – компакт.

◄ , – открыто.

, , , окончательно .►

Теорема 2.2 (критерий компактности множества в .

– компакт в – ограничен и замкнут.

◄ Необходимость доказана выше.

Достаточность. Пусть – ограничен и замкнут (куб) и (шар): – компакт. ►

Лекция №11 Предел функции многих переменных

Пусть f :

Пара метрическое пространство с метрикой: (x,y) = .

База : , :

1. .

2.

Определение 2.13. : .

.

: : .

Определение 2.14.

< ( -- метрика в ). В одномерном случае:

Определение 2.15. Отображение f : называется ограниченным, если ограничено в .

Определение 2.16. Отображение называется финально ограниченным при данной базе , если , на котором ограничено.

Общие свойства предела

1) отображение финально ограничено;

2) если он единственный для заданной базы.

Отображение f : задает функций : , f = ( … ), … ).

Утверждение 2.11. , i = 1... .

◄| | , ►

Отображение задает последовательность

, .

Определение 2.17 (предел последовательности).

,

Определение 2.18. Последовательность называется фундаментальной если:

Теорема 2.3 (критерий Коши существования предела последовательности).

– фундаментальная.

◄ Последовательность = фундаментальна фундаментальны последовательности Далее используем критерий Коши существования предела последовательности в .►

Определение 2.19. Метрическое пространство, в котором справедлив критерий Коши, называется полным.

Критерий Коши для функции

. Колебание : = .

Теорема 2.4 (критерий Коши существования предела отображения). : < .

◄ Либо в доказательстве критерия Коши для функций в заменить на ,

либо воспользоваться Утверждением 2.11. ►

Теорема 2.4 (о пределе композиции).

; ; ; ; – база в ; – база в ,

.

◄ : .

Для .

►