Лекция №2

1.2. Определенный интеграл Римана

_{а) Разбиение отрезка}

Определение 1.3. Разбиением отрезка называется конечная система точек

Отрезки называются отрезками разбиения , , параметр разбиения (мелкость).

_{Определение} 1.4. Говорят, что имеется разбиение с отмеченными точками отрезка если для любого отрезка выбрана точка

в) База в множестве разбиений

_{Определение 1.5.}

Рассмотрим все множества разбиений отрезка с отмеченными точками и введем на этом множестве базу элемент данной базы: совокупность всех разбиений с отмеченными точками отрезка , параметр разбиения которых меньше

_{Проверим, что} база в

1. 

2. 

с) Интегральная сумма

Определение 1.6.

, разбиение с отмеченными точками.

Тогда

называется интегральной суммой (Римана).

Замечание 1.2. В случае если то площадь фигуры, составленной из прямоугольников с основаниями и высотой

_{Определение 1.7. Интеграл Римана.}

База интегральная сумма.

_{Говорят, что} является интегралом Римана функции на , если

или если

Определение 1.8. Функция называется интегрируемой по Риману, Множество функций, интегрируемых по Риману:

Необходимое условие интегрируемости функции по Риману

Утверждение 1.3 (необходимое условие интегрируемости функции по Риману).

Если , то ограничена на .

_◄ От противного. Пусть функция не ограничена, тогда

_{на котором} не ограничена. Выбирая точку можно сделать величину

только за счет изменения и Следовательно, конечный предел не существует. ►

Теорема 1.1. Критерий Коши интегрируемости функций по Риману

, .

Достаточное условие интегрируемости по Риману

Пусть , ограничена на .

Обозначим колебание функции на множестве

омега-сумма.

Определение 1.9. Если разбиение отрезка получается из добавлением новых точек, то будем говорить, что продолжение ( ).

Утверждение 1.4. Пусть ограничена на и .

( ) .

◄1. Рассмотрим и разбиения отрезка, , продолжение :

: ,

при ,

2. Рассмотрим и произвольные разбиения.

Построим ,

,

Из критерия Коши следует .►

Замечание 1.3. Вообще говоря, это критерий.

Лекция № 3 Важнейшие классы интегрируемых функций

Утверждение 1.5. .

Любая непрерывная на отрезке функция интегрируема на нем.

◄ Функция ограничена на и равномерно непрерывна на нём:

►

Следствие 1.1. Если функция ограничена и имеет конечное или счетное число точек разрыва на отрезке, она интегрируема на нём.

Утверждение 1.6. Пусть (монотонна) и ограничена она интегрируема.

◄ ограничена на ,

.►

Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману

Определение 1.10. Множество имеет меру нуль (Лебега) , если (счетная система интервалов) такая, что

(сумма длин которых не превосходит ).

Утверждение 1.7. Точка имеет нулевую меру.

.

Утверждение 1.8. Конечная или счетная система точек имеет множество меры нуль.

Утверждение 1.9. , где .

Определение 1.11. Будем говорить, что некое свойство выполнено «почти всюду», если оно выполнено всюду, за исключением множества меры нуль.

Теорема 1.1 (критерий Лебега интегрируемости функции по Риману).

Пусть ограничена на .

Тогда непрерывна почти всюду на . .

Пример 1.3.

, т.к.

при и в тоже время при

Т.е. интегральные суммы не могут иметь предела.