Процесса
Обычно
принимают не более (0.05…0.01) от
.
При этом
– интервал корреляции, то есть такой
интервал времени, больше которого можно
считать, что два отсчета процесса не
имеют причинно-временной связи между
собой.
При изучении детерминированных процессов изучают их частотные спектры. Для случайных процессов в отношении любой из реализаций также можно определить частотный спектр. Но именно в силу свойства случайности от реализации к реализации конкретная оценка спектра будет меняться.
Поэтому для случайных процессов определяют спектральную плотность случайного процесса – функцию частоты, характеризующую спектральный состав процесса интегрально. В случае стационарного эргодического процесса может быть получено выражение на основе прямого преобразования Фурье к АКФ этого процесса:
|
(2.15) |
.Или, используя свойство (2.10):
|
(2.16) |
.
Функция
,
следовательно, также является четной.
Существует и обратное преобразование
Фурье:
|
(2.17) |
,и, следовательно,
|
(2.18) |
.
Таким
образом, чем меньше
,
тем более “случаен” процесс, тем больше
дисперсия, шире и равномернее спектр и
наоборот.
3.2 Псевдослучайные (шумоподобные) процессы
Если
рассмотреть
АКФ, имеющий
ненулевое значение только при
,
то есть АКФ будет представлена
-функцией
с точностью до постоянного множителя,
то соответствующий ей случайный процесс
будет иметь, согласно (2.17), бесконечный,
сплошной, равномерный энергетический
спектр и, согласно (2.18), бесконечную
дисперсию. Такой сигнал физически
получен быть не может, так как он должен
обладать бесконечной мощностью. Этот
случайный процесс определяется как
математическое абстрактное понятие и
называется белым
шумом.
Тем не менее, интерес к процессу типа белого шума большой. Теоретически бесконечный спектр означает, что, подавая такой сигнал на вход устройства, по виду и спектральному составу выходного сигнала можно получить весьма важную информацию о свойствах этого устройства. Практически используют сигналы, чьи статистические характеристики оказываются близкими к характеристикам белого шума в ограниченной области параметров (частота, длительность реализации, параметр АКФ). Такие сигналы и процессы называют шумоподобными. Примером реальных случайных процессов является дробовый (тепловой) шум полупроводниковых приборов. Но подобные процессы от реализации к реализации отличаются, что вносит погрешность в результаты при многократном проведении одного исследования – следствие так называемой статистической неопределенности характеристик естественных по своей физической природе шумоподобных процессов.
3.2.1 Псевдослучайные процессы
Это большой класс шумоподобных сигналов, получаемых на основе числовых псевдослучайных последовательностей (ПСП). ПСП сигналов являются примером гармонического сочетания аналоговой и цифровой техники. Простота генерирования с помощью типовых логических устройств и элементов сочетается с абсолютной повторяемостью ПСП сигналов и хорошими статистическими характеристиками, которые качественно близки аналогичным характеристикам белого шума.
С использованием фильтра нижних частот из ПСП сигналов получается аналоговый сигнал со свойствами белого шума в ограниченной, но достаточно большой полосе частот, то есть можно говорить о возможности синтезировать цифровым способом сигналы с задаваемыми спектральными параметрами. Возможные области применения:
диагностика и контроль аналоговых и цифровых устройств;
идентификация динамических линейных и нелинейных систем;
кодирование информации с целью защиты её от искажения;
шифрование информации;
связь и локация.
Математической
основой получения ПСП служат образующие
-последовательности
многочлены (иные названия –
характеристические, неприводимые,
примитивные) вида:
|
(2.19) |
,где – фиктивная переменная;
– весовые
коэффициенты,
,
;
– число
символов (уровней) ПСП.
Из этого определения следует, что ПСП состоят из ограниченного числа символов, и соответствующие им ПСП сигналов имеют такое же число уровней. Фиктивная переменная x вводится для математического описания таких последовательностей, применения к ним алгебраических логических операций. Например, двоичное число будет представлено полиномом в виде
10101101 
.
Определение:
образующими являются полиномы вида
(2.19), которые не могут быть представлены
в виде произведения двух и более полиномов
степени меньше
с целочисленными весовыми коэффициентами.
Утверждение:
для любого
существуют образующие полиномы.
ПСП формируются на основе рекуррентного соотношения:
|
(2.20) |
,
где
– начальная задаваемая ненулевая
комбинация первых
значений
ПСП;
–знак
суммирования по
.
Правило
суммирования по
:
любое положительное или отрицательное
число сопоставляется одному из значений
путем последовательного выполнения
сложения/вычитания
.