Тема 2. Случайные величины
Понятие случайной величины. Описание случайных величин. Функция распределения. Числовые характеристики случайных величин. Характеристические функции. Преобразование законов распределения и моментов.
Сначала изучите материал, изложенный в главе 2 [1]. Затем ответьте на вопросы и выполните задания для самопроверки. Внимательно разберите решения приведенных примеров. Из контрольной работы выполните первое, второе, третье и четвертое задания своего варианта.
Изучаемый материал является очень важным для понимания последующих тем, поэтому особое внимание уделите следующему.
1. Способам описания случайных величин (законам распределения, плотностям вероятности, функциям распределения, их свойствам).
2. Математическому ожиданию случайной величины и его свойствам.
3. Дисперсии случайной величины и ее свойствам.
4. В условии нормировки закона распределения и в определении числовых характеристик пределы от минус до плюс бесконечности приведены для общности. В реальности эти пределы соответствуют граничным значениям, принимаемым случайной величиной.
5. Определению особых значений случайной величины, таких как квантиль и процентная точка. Эти значения играют в статистике первостепенную роль, поэтому твердо уясните то, о чем будет идти речь ниже.
Квантилем порядка р (или р-квантилем) непрерывной случайной величины Х называется такое возможное значение хр этой величины, для которого вероятность события Х<хp равна заданной величине вероятности р, т. е.
Р(Х<хp)
=
,
где F(хp)- значение функции распределения при х=хр.
Именно уравнение
следует решить, чтобы найти квантиль хр.
В случае дискретной случайной величины р-квантиль определяется как любое число хр, лежащее между двумя возможными значениями хi(p) и хi(p)+1, такое что F(хi(p)) < р, но F(хi(p)+1) ≥ р.
Кроме квантиля пользуются также процентной точкой распределения. Под процентной точкой порядка q (или q-процентной точкой) случайной величины понимаетсятакое ее возможное значение хq ; для которого вероятность события X>хq равна q, т. е.
Для дискретных случайных величин это определение корректируется аналогично тому, как это делается при определении квантиля.
Из определения квантиля и процентной точки вытекает простое связывающее их соотношение:
квантиль порядка р = процентная точка порядка 1 – р.
Иногда порядок процентной точки выражают в процентах.
Для примера рассмотрим непрерывную случайную величину с распределением р(х) = 1/2 , 0 ≤ х ≤ 2, которое называется равномерным распределением и имеет следующий вид:
Найдем квантиль порядка 0,25 такого распределения. Составим уравнение
или
.
Отсюда х0,25 = 2∙0,25 = 0,5. Обратите внимание, что площадь под плотностью вероятности от х = 0 до х0,5 = 0,5, как видно из рисунка, равна 0,25.
Найдем процентную точку порядка 0,75. Составим уравнение
или
.
Отсюда х0,75 = 0,5. В этом случае площадь под плотностью вероятности от 0,5 до 2, равна 0,75.
Вопросы и задания для самопроверки
1. Дайте определение случайной величины.
2. Что называют законом распределения дискретной случайной величины?
3. Что понимают под законом распределения непрерывной случайной величины?
4. Каким свойством обладает плотность вероятности случайной величины?
5. Дайте определение функции распределения случайной величины. Какими свойствами она обладает?
6. Как связаны между собой плотность вероятности и функции распределения?
7. Как, зная плотность вероятности, найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал?
8. Изобразите закон распределения случайной величины Х- числа очков, выпадающих на верхней грани при бросании правильной игральной кости.
9. Дайте определение математического ожидания дискретной случайной величины.
10. Что называют математическим ожиданием непрерывной случайной величины?
11. Перечислите свойства математического ожидания случайной величины.
12. Что такое мода и медиана случайной величины?
13. Дайте определение дисперсии случайной величины.
14. Перечислите основные свойства дисперсии.
15. Что такое начальные и центральные моменты случайной величины? Как они определяются?
16. Дайте определение квантиля порядка р случайной величины.
17. Как найти закон распределения случайной величины, являющейся функцией дискретной случайной величины?
18. Как найти плотность вероятности случайной величины, являющейся функцией непрерывной случайной величины?
19. Как найти моменты функционально преобразованной случайной величины?
Примеры решения задач
Пример 1. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид
р(х) = С(1+х)-3, х ≥ 0.
Необходимо: 1) определить значение постоянной С; 2) найти функцию распределения; 3) изобразить графики плотности вероятности и функции распределения; 4) найти вероятность того, что случайная величина не превысит значения, равного единице.
Решение. 1) Постоянную С можно найти из условия нормировки плотности вероятности
.
Имеем:
.
Приравняв полученное значение единице, получим С = 2.
Следовательно,
р(х) = 2(1+х)-3, х ≥ 0.
2) Находим функцию распределения:
.
Итак,
3) Графики плотности вероятности функции распределения строим, задавая случайной величине Х некоторые конкретные значения, например 0; 0,25; 0,5; 0,75; 1. В результате получим:
4) Вероятность того, что случайная величина не превысит значения, равного единице, можно найти двумя способами:
или
.
Если функция распределения вычислена, то легче использовать второй способ:
Р(0 ≤ Х ≤1)= 1 – (1 + 1)-2 – 0= 1 – ¼ = 0,75.
Пример 2. Закон распределения дискретной случайной величины х имеет вид
хi |
0 |
1 |
2 |
3 |
рi |
1/8 |
3/8 |
3/8 |
1/8 |
Необходимо найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины.
Решение. По определению математического ожидания дискретной случайной величины имеем:
По определению дисперсии:
Для нахождения дисперсии можно также воспользоваться эквивалентной формулой:
Среднее квадратическое отклонение σ является положительным квадратным корнем из дисперсии:
.
Пример 3. Случайная величина Х имеет плотность вероятности
р(х) = х/2, 0 ≤ х ≤ 2.
Требуется найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
Решение. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины в общем случае определяется формулами:
Применительно к задаче имеем:
Вычисление дисперсии можно значительно упростить, применяя формулу
Dx= M[X2] – mx2.
.
Пример 4. Случайная величина Х имеет плотность вероятности
рх(х)= 1/π, -π/2 < х < π/2.
Необходимо найти плотность вероятности случайной величины Y= sinX.
Решение. В интервале (-π/2, π/2) функция y= sin x однозначная, следовательно существует однозначная обратная функция x= arcsin y. Плотность вероятности величины Y находится по формуле
Поскольку
,
то
,
-1<y<1.
Пример 5. Случайная величина Х распределена равномерно в интервале (-π/2, π/2).
Необходимо найти плотность вероятности случайной величины Y = cosХ.
Решение. В интервале (-π/2, π/2) функция y= cos x является двузначной, обратные ей функции
х1= -arccos y, х2= arccos y.
Поэтому
Следовательно,
0<y<1.