3. Характеристика формы распределения, асимметрия, эксцесс

Сделать вывод о форме распределения нам позволяют такие показатели, как асимметрия и эксцесс, расчитываемые соотвественно по формулам:

sk = m³/σ³ = (∑(x_i-x_ср)/n)³/σ³

k = m⁴/σ⁴ = (∑(x_i-x_ср)/n)⁴/σ⁴

Если sk ~ 0, то распределение нормальное, если k ~ 3, то распределение нормальное. Из таблицы 1 видно, что для факторов L и K эти переменные не приближаются к нужным значениям, поэтому нормальную форму распределения мы отвергаем.

Статистика Jarque–Bera (JB) так же предназначена для проверки нулевой гипотезы о нормальном законе распределения для значений рассматриваемой переменной. Статистика (JB) рассчитывается из соотношения:

JB = (n-k)

где S – асимметрия, К – эксцесс, n – объём выборки, k – число оцениваемых параметров, используемых для создания временного ряда. Известно, что для нормального закона распределения S = 0, К = 3, тогда и JB = 0. JB-статистика в предположении верности нулевой гипотезы имеет - распределение. Поскольку вероятность (Probability) для обеих переменных (L и K) меньше 0.05, то гипотеза о нормальном законе распределения для обеих переменных отклоняется.

Оценим тесноту связи с помощью анализа матрицы коэффициентов корреляции.

	Y	L	K
Y	1.000000	0.942362	0.954930
L	0.942362	1.000000	0.866619
K	0.954930	0.866619	1.000000

Табл.3 Матрица коэффициентов корреляции

r_yl = 0.942362

r_yk = 0.954930

r_lk = 0.866619

Видно, что значение r_yl и r_yk выше, чем 0.8, связь тесная, следовательно, один фактор желательно исключить. Но в данной модели этого делать не будем.

2. Оценка производственной функции (пф) для конкретной отрасли

1. Спецификация модели – выбор факторных переменных и формы модели

Уравнение модели имеет вид:

Log(Y) = 1.93+0.32*log(K)+0.84*log(L)

Estimation Equation:

=========================

LOG(Y) = C(1) + C(2)*LOG(K) + C(3)*LOG(L)

Substituted Coefficients:

=========================

LOG(Y) = 1.92907117704 + 0.320081241302*LOG(K) + 0.841364509403*LOG(L)

Рис.2 Представление уравнения модели

2. Верификация модели: оценка ее адекватности

На этом этапе мы оценим адекватность модели, проверим наличие автокорреляции остатков и гетероскедастичности. Ниже приведен отчет об уравнении регрессии

Dependent Variable: LOG(Y)
Method: Least Squares
Date: 10/16/12 Time: 23:23
Sample: 1970 2010
Included observations: 41
Variable	Coefficient	Std. Error		t-Statistic		Prob.
C	1.929071	0.327307		5.893774		0.0000
LOG(K)	0.320081	0.051648		6.197341		0.0000
LOG(L)	0.841365	0.106259		7.918090		0.0000
R-squared	0.959587	Mean dependent var				9.727233
Adjusted R-squared	0.957460	S.D. dependent var				0.256917
S.E. of regression	0.052990	Akaike info criterion				-2.967076
Sum squared resid	0.106701	Schwarz criterion				-2.841693
Log likelihood	63.82506	Hannan-Quinn criter.				-2.921418
F-statistic	451.1438	Durbin-Watson stat				0.127493
Prob(F-statistic)	0.000000

Табл. 3 Отчет об уравнении регрессии

В начале отчёта указаны: зависимая переменная (Y), метод оценивания (LS), дата и время выполнения расчетов, размах выборки и число включённых в работу наблюдений. Ниже в отчёте перечислены: регрессоры (факторы), включая константу (столбец Variable), столбец оценок параметров (Coefficient), стандартные ошибки оценок (Std. Error), t-статистики и расчётный уровень значимости (Prob.).

Коэффициент множественной детерминации (R-squared) равен 0,96, следовательно, изменение Y на 96% зависит от изменения включенных в регрессию переменных. Далее в отчёте указаны: исправленный коэффициент множественной детерминации(Adjusted R-squared), стандартная ошибка регрессии (S.E. of regression), сумма квадратов остатков (Sum squared resid), средняя арифметическая зависимой переменной (Mean dependent var), её стандартное отклонение (S.D. dependent var), информационные критерии Акаике и Шварца, F-статистика дисперсионного анализа регрессии и расчётный уровень значимости для неё (Prob(F-statistic).

Проведем проверку адекватности модели по статистике Фишера. Нулевая гипотеза говорит нам о незначимости модели (если Prob (F-statistics) > 0.05 ), конкурирующая – о ее значимости.

Prob (F-statistics) < 0.05 , значит, мы принимаем альтернативную гипотезу, модель значима.

Статистика Стьюдента показывает, оказывают ли факторы (L и K) влияние на Y. Принимаем нулевую гипотезу о том, что факторы оказывают влияние на Y

( Prob = 0.00 < 0.05), факторы остаются в модели.

Коэффициент множественной детерминации R-squared = 0.96, что показывает высокую точность модели. На 96% вариация зависимой переменной описана с помощью модели. Более того, отдача от масштаба положительная (0.32+0.84>1).

Тест Бреуша-Годфри на автокорреляцию остатков проводим по следующему алгоритму.

За нулевую принимаем гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков, за альтернативную – наличие автокорреляции второго порядка (порядок задаем самостоятельно).

H₀ : отсутствие автокорреляции

H_а : автокорреляция второго порядка

1. Оцениваем исходную модель регрессии, находим остатки

lnY = lnA+αlnK+βlnL

e = lnY – lnŷ

2. Строим вспомогательную регрессию

ê= b₀ + b₁lnK + b₂lnL + b₃e_t-1 + b₄e_t-2

3. Определяем статистику nR² ,

где n – количество наблюдений в выборке,

R² - коэффициент множественной детерминации вспомогательной регрессии

nR² ~ X² (p)

где p – количество факторов вспомогательной регрессии.

Если p> 0.05, то принимаем гипотезу H₀

Если p< 0.05, то отвергаем гипотезу H₀ , принимаем H_{а .}

R-squared = 0.751279, а Obs*R-squared, т.е. = 30.80242. Probability, т.е. расчётный уровень значимости для , равен нулю. Следовательно, гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках исходного уравнения отклоняется. На основании Prob для t-Statistic заключаем, что в остатках наблюдается автокорреляция первого порядка (см. табл. 4).

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic	54.37011		Prob. F(2,36)				0.0000
Obs*R-squared	30.80242		Prob. Chi-Square(2)				0.0000
Test Equation:
Dependent Variable: RESID
Method: Least Squares
Date: 10/16/12 Time: 10:42
Sample: 1970 2010
Included observations: 41
Presample missing value lagged residuals set to zero.
Variable	Coefficient		Std. Error		t-Statistic		Prob.
C	0.041064		0.168423		0.243813		0.8088
LOG(K)	0.049027		0.029497		1.662118		0.1052
LOG(L)	-0.074023		0.058156		-1.272842		0.2112
RESID(-1)	0.898205		0.170225		5.276563		0.0000
RESID(-2)	0.034929		0.185530		0.188265		0.8517
R-squared	0.751279		Mean dependent var				-1.30E-15
Adjusted R-squared	0.723643		S.D. dependent var				0.051648
S.E. of regression	0.027151		Akaike info criterion				-4.260937
Sum squared resid	0.026539		Schwarz criterion				-4.051964
Log likelihood	92.34920		Hannan-Quinn criter.				-4.184840
F-statistic	27.18505		Durbin-Watson stat				1.354255
Prob(F-statistic)	0.000000
Рис.

Табл. 4 Тест Бреуша-Годфри на автокорреляцию остатков (RESID(-1) = 0.00 коэффициент значим, RESID(-2) = 0.85 коэффициент не значим)

Как выяснилось, в уравнении остатки автокоррелированы, причём наблюдается автокорреляция 1-го порядка. Воспользуемся этой информацией и введём в уравнение регрессии добавочные члены, отражающую эту зависимость (AR(1)).

Dependent Variable: LOG(Y)
Method: Least Squares
Date: 10/19/12 Time: 01:52
Sample (adjusted): 1971 2010
Included observations: 40 after adjustments
Convergence achieved after 13 iterations
Variable	Coefficient	Std. Error		t-Statistic		Prob.
C	4.447773	0.537243		8.278891		0.0000
LOG(K)	0.325054	0.032748		9.925942		0.0000
LOG(L)	0.434563	0.099304		4.376090		0.0001
AR(1)	0.882758	0.027538		32.05553		0.0000
R-squared	0.996913	Mean dependent var				9.742666
Adjusted R-squared	0.996656	S.D. dependent var				0.240173
S.E. of regression	0.013888	Akaike info criterion				-5.620893
Sum squared resid	0.006944	Schwarz criterion				-5.452005
Log likelihood	116.4179	Hannan-Quinn criter.				-5.559828
F-statistic	3875.690	Durbin-Watson stat				0.730844
Prob(F-statistic)	0.000000
Inverted AR Roots	.88

Табл. 5 Тест Бреуша-Годфри на автокорреляцию остатков с добавочным членом AR(1)

Значение члена AR (1) = 0.00 , коэффициент значим, значит, мы отвергаем нулевую гипотезу об отсутствии автокорреляции.

Как видим, повысилась точность уравнения (R-squared = 0.99) и улучшилась ситуация с автокорреляцией в остатках, что можно наблюдать и по графику остатков (рис. 2 и 3).

Рис. 2 Графики остатков, фактических и расчётных значений зависимой переменной до введения дополнительного члена AR (1)

Рис. 3 Графики остатков, фактических и расчётных значений зависимой переменной после введения дополнительного члена AR (1)

Проведем тест Уайта на гетероскадастичность. Идея этого теста в следующем. Оценивается исходное уравнение регрессии и затем строится вспомогательное уравнение квадрата остатков исходного уравнения на все независимые переменные, их квадраты и попарные произведения.

Проверяется нулевая гипотеза о том, что не существует связи между дисперсией остатков и независимыми переменными, т.е. остатки гомоскедастичны. Если верна нулевая гипотеза, то следует распределению хи-квадрат с p степенями свободы, где n – объём выборки, – коэффициент множественно детерминации вспомогательного уравнения, p – число регрессоров во вспомогательном уравнении (без константы).

Если , то гипотеза о гомоскедастичности остатков отклоняется. В этом случае Probability для Obs*R-squared будет больше принятого уровня значимости (табл. 6).

Таким образом, за нулевую гипотезу принимаем утверждение о гомоскедастичности модели. Проводим оценку исходной модели регрессии. Оцениваем вспомогательную модель регрессии. Для вспомогательной модели рассчитываем статистику nR² .

Видно, что статистика Фишера принимает значение p=0.0009, откуда делаем вывод о неприемлемости нулевой гипотезы. Дисперсия остатков непостоянна. Модель гетероскедастична.

Heteroskedasticity Test: White
F-statistic	4.447103	Prob. F(9,30)		0.0009
Obs*R-squared	22.86300	Prob. Chi-Square(9)		0.0065
Scaled explained SS	21.69330	Prob. Chi-Square(9)		0.0099
Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares
Date: 10/16/12 Time: 10:55
Sample: 1971 2010
Included observations: 40
Collinear test regressors dropped from specification
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	0.031757	0.024237	1.310284	0.2000
GRADF_01*GRADF_02	0.484334	0.196716	2.462099	0.0198
GRADF_01*GRADF_03	-1.438585	0.639976	-2.247874	0.0321
GRADF_01*GRADF_04	-0.238399	0.122719	-1.942635	0.0615
GRADF_02^2	-0.010595	0.009612	-1.102230	0.2791
GRADF_02*GRADF_03	-0.050776	0.036981	-1.373029	0.1799
GRADF_02*GRADF_04	-0.013766	0.007381	-1.864922	0.0720
GRADF_03^2	0.155052	0.070326	2.204774	0.0353
GRADF_03*GRADF_04	0.062137	0.027651	2.247163	0.0321
GRADF_04^2	0.007095	0.003427	2.070179	0.0471
R-squared	0.571575	Mean dependent var		0.000174
Adjusted R-squared	0.443047	S.D. dependent var		0.000269
S.E. of regression	0.000201	Akaike info criterion		-13.97595
Sum squared resid	1.21E-06	Schwarz criterion		-13.55373
Log likelihood	289.5190	Hannan-Quinn criter.		-13.82329
F-statistic	4.447103	Durbin-Watson stat		1.515163
Prob(F-statistic)	0.000915

Табл.6 Тест Уайта на гетероскедастичность остатков