2.3 Забезпечення показників якості резервуванням заміщенням

Одним з найефективнішим засобом забезпечення надійності в експлуатації і, як наслідок, якості машин є резервування заміщенням.

Для машин в експлуатації знаходять застосування такі показники надійності:

• середнє напрацювання на відмову ;

• середній час відновлення працездатного стану ;

• коефіцієнт готовності .

Перший показник надійності характеризує безвідмовність об’єкту і може бути визначений як відношення повної тривалості роботи об’єкта до повного числа зареєстрованих відмов

. (2.16)

Другий показник характеризує ремонтопридатність об’єкта, його визначають як відношення сумарного часу, витраченого на відновлення , до загального числа відновлень, чисельно рівних кількості виниклих відмов :

. (2.17)

Коефіцієнт готовності – комплексний показник надійності. Він кількісно характеризує властивості як безвідмовності об’єкта, так і ремонтопридатності, і визначається як ймовірність того, що об’єкт опиниться в працездатному стані в довільний момент часу:

. (2.18)

Можна вважати, що чисельно рівний частці працездатних об’єктів у будь-який момент часу.

Для визначення перерахованих показників надійності ремонтованих об’єктів потрібний статистичний матеріал, який зазвичай збирається в умовах рядової експлуатації, або в умовах підконтрольних спеціальних випробувань.

Надійність об’єкту як системи, що складається з ряду елементів, можна визначити також по даним про надійність кожної її складової частини або елементу. Як правило, визначити показники надійності деталі або вузла простіше, ніж всієї системи в цілому. В даний час є необхідні методи і технічні засоби для випробування на надійність різних робочих органів, деталей, вузлів.

Надійність машини, як системи, залежить від її структури. Більшість машин і агрегатів – це системи з послідовною структурою, при якій відмова системи наступає у разі відмови будь-якого її елементу. Вид такої структури з трьох елементів представлений на рис. 2. 6. Це може бути, наприклад, ведучий міст базової машини, в якому елемент 1 – головна передача, елемент 2 – піввісь і елемент 3 – бортові редуктори. В цьому випадку говорять про послідовне з’єднання елементів в системі, а ймовірність безвідмовної роботи системи при незалежних відмовах елементів визначають по формулі:

(2.19)

де , і – ймовірність безвідмовної роботи елементів.

Рисунок 2.6 – Структурні схеми з трьох елементів:

а – послідовне з’єднання; б – паралельне з’єднання (постійне резервування);

в – резервування заміщенням

При недостатній надійності яких-небудь елементів надійність системи можна підвищити введенням надмірності, тобто шляхом резервування. Резервування буває постійним (навантаженим), структура якого приведена на рис. 2.6, б, або може здійснюватися шляхом заміщення (рис. 2.6, в). У останньому випадку маємо ненавантажений резерв, оскільки резервні елементи включаються в роботу тільки при відмові основного. Постійне резервування називають паралельним з’єднанням елементів. У разі незалежності відмов ймовірність безвідмовної роботи системи з паралельним з’єднанням трьох елементів (рис. 2.6, б) визначається за формулою

, (2.20)

де , і – ймовірність безвідмовної роботи основного і резервних елементів.

У мобільних машинах постійне резервування використовується значно рідше, ніж резервування заміщенням. При резервуванні заміщенням середнє напрацювання на відмову системи, що складається з одного основного (що працює) і К таких же резервних елементів, визначається за формулою

, (2.21)

де – середнє напрацювання на відмову елементу.

Середнє квадратичне відхилення напрацювання на відмову цієї системи визначається з виразу

, (2.22)

де – середнє квадратичне відхилення напрацювання на відмову елементу.

З (2.21) і (2.22) витікає, що коефіцієнти варіації напрацювання на відмову системи і елементу при резервуванні заміщенням зв’язані співвідношенням:

. (2.23)

При розподілі напрацювання на відмову системи згідно із законом Вейбулла його параметр форми однозначно визначається величиною коефіцієнта варіації . Ця залежність при з достатньою для практичного використання точністю описується наближеним виразом:

(2.24)

звідки, з обліком (2.23), витікає, що

. (2.25)

Параметр масштабу розподілу напрацювання на відмову системи, виходячи з (2.21) визначається по формулі:

. (2.26)

При зроблених припущеннях ймовірність безвідмовної роботи системи з того, що одного працює і К резервних (запасних) елементів, що послідовно включаються в роботу при настанні відмов на заданому інтервалі напрацювання , визначається з виразу:

(2.27)

в якому параметр визначається за формулою (2.25).

Ймовірність безвідмовної роботи елементу на інтервалі можна також визначати по формулі (2.27). Поклавши у ній , отримаємо вираз:

(2.28)

у якому параметр форми відповідно до (2.25) визначається за формулою

(2.29)

Величина визначає ймовірність того, що за період не наступить стан, при якому подальше відновлення працездатності системи стане вже неможливим через відсутність резервних елементів. Ймовірність того, що у будь-який момент часу система не знаходитиметься в стані відновлення за наявності резервних елементів, визначається величиною коефіцієнта готовності .

Ймовірність того, що ще не витрачені резервні елементи і система не знаходиться в стані відновлення, визначається твором вказаної вище ймовірності і є комплексним показником надійності резервованих способом заміщення систем, який називають коефіцієнтом оперативної готовності :

(2.30)

Величина цього показника відповідає заданому інтервалу часу роботи , із збільшенням якого коефіцієнт оперативної готовності монотонно зменшується. З його допомогою можна визначити середнє число працездатних машин до кінця періоду :

(2.31)

де – загальне число машин.

Приклад і послідовність виконання завдання 2.3.

Початкові статистичні дані про напрацювання між відмовами і час відновлення системи (машини), що складається з трьох умовних елементів, (агрегатів) з послідовним з’єднанням (рис.2.6 а) вибирають з табл. 2.8. Вони повинні містити задану кількість напрацювань системи між відмовами і така ж кількість значень часу відновлення .

Таблиця 2.8 – Статистичні дані про напрацювання між відмовами і часу відновлення системи

пп	Напрацювання між відмовами , год ч.	Час відновлення ,год
0	41, 20, 97, 104, 53	2,1; 2,4; 8,6; 5,6; 4,3
1	88,76,302,176,12	6,3; 7,0; 2,3; 2,8; 8,1
2	34, 84; 168, 28, 96	5,5; 3,6; 7,0; 5,0; 3,7
3	205,72, 28, 136, 173	3,4; 5,4; 10,2; 3,3; 4,7
4	44, 80, 35, 192, 306	2,5; 5,6; 6,4; 6,9; 7,7
5	67,224,111,260,79	1,3; 3,4; 10,2; 2,2; 3,9
6	93,244,319,188,56	1,9; 4,9; 2,8; 5,8; 12,1
7	133,216,107,32,39	7,5; 6,4; 9,4; 1,5; 11,0
8	84,360,148,248,16	3,5; 1,1; 13,4; 3,9; 8,7
9	37,112,49,196,201	6,6; 1,8; 1,6; 11,6; 5,4

Далі, використовуючи вибрані статистичні дані, по формулах (2.17) і (2.18) визначають показники надійності системи: середнє напрацювання на відмову ; середній час відновлення _; і коефіцієнт готовності .

Коефіцієнт готовності припускає можливість необме­женого числа відновлень (або запасних елементів) .На наступному етапі проводять оцінку надійності системи на заданий період часу у разі, коли число можливих відновлень обмежене кількістю наявних резервних елементів. Початкові дані для такої оцінки вибирають з табл. 2.9.

Таблиця 2.9 – Початкових даних про надійність елементів

№ з/п	Коефіцієнти варіації напрацювання про відмови , год			Середні напрацювання на відмову , год
				,ч	,ч	,ч
0	0,4	0,5	0,6	200	500	300
1	0,5	0,4	0,7	400	200	300
2	0,6	0,5	0,8	500	400	200
3	0,4	0,7	0,5	200	300	500
4	0,5	0,8	0,4	400	500	200
5	0,6	0,4	0,7	300	200	400
6	0,4	0,6	0,8	500	300	200
7	0,5	0,6	0,8	300	500	400
8	0,6	0,4	0,5	500	200	400
9	0,8	0,4	0,7	200	400	500

За допомогою цих даних за формулою (2.29) визначають параметри , і , а потім за формулою (2.28) для заданого періоду ч визначають ймовірність безвідмовної роботи елементів системи і і за формулою (7.4) – ймовірність безвідмовної роботи нерезервованої системи

.

Потім з урахуванням знайдених значень і відбирають найбільш раціональні варіанти (не менше два) резервування системи заміщенням за допомогою трьох резервних елементів з схем, приведених на рис. 2.7 так, щоб забезпечити максимальну ймовірність безвідмовної роботи системи. При виборі раціональних варіантів резервування слід розглядати в першу чергу схеми, які забезпечують резервування найменш надійних елементів системи.

Для відібраних варіантів схем, використовуючи формули (2.19) і (2.20), розраховують величини ймовірності безвідмовної роботи системи, спочатку вважаючи, що резервні елементи утворюють паралельне з’єднання з основними (постійне резервування). Порівнюючи альтернативні варіанти схем, вибирають остаточний варіант з найбільшою ймовірністю безвідмовної роботи системи з постійним резервуванням і потім по формулах (2.25), (2.27) і (2.19) для вибраного варіанту схеми резервування визначають ймовірність безвідмовної роботи системи при резервуванні заміщенням.

Рисунок 2.7 – Варіанти резервування елементів в системі

Цей показник характеризує надійність системи при миттєвій заміні елементів, що відмовили, резервними.

За формулою (2.30) розраховують коефіцієнт оперативної готовності , що враховує реальний час заміни елементів і обмеженість їх числа, і будують графіки зміни і при збільшенні Т. За графіком функції визначають період роботи , відповідний заданому значенню коефіцієнта оперативної готовності

Таблиця 2.10 – Початкові дані до розрахунку коефіцієнта готовності

Напрацювання між відмовами	41	76	168	136	306	67	244	107	248	201	=1594
Час відновлення	2,1	7,0	5,0	4,7	3,6	3,4	6,9	10,2	5,8	1,8	=50,5

Відповідно до формул (2.16) (2.17) (2.20), середнє напрацювання на відмову системи:

середній час відновлення

коефіцієнт готовності

.

Таблиця 2.11 – Початкові дані і результати розрахунку ймовірності безвідмовної роботи елементів

№ елементу	, год	, год
1	450	0,5	2,16	0,8856	0,9706
2	200	0,7	1,49	0,9033	0,7364
3	400	0,6	1,77	0,8900	0,9324

Ймовірність безвідмовної роботи нерезервованої системи

.

Альтернативні варіанти постійного резервування

Ймовірність безвідмовної роботи за варіантом 3:

;

;

;

.

Ймовірність безвідмовної роботи за варіантом 7:

.

.

Для варіанта 7, у якого вище, розраховуємо ймовірність безвідмовної роботи при резервуванні заміщенням.

Для другого елементу при за формулою (2.25) визначуваний параметр форми

.

Значення гамма-функції з таблиці:

.

Ймовірність безвідмовної роботи за формулою (2.27):

.

Для третього елементу при К=1 маємо

Ймовірність безвідмовної роботи системи при

.

Коефіцієнт оперативної готовності

.

Величини і при значеннях і розраховуємо аналогічно і заносимо в табл. 2.12.

Таблиця 2.12 – Результати розрахунків і

	0	1000	1500	2000
	1	0,9706	0,9308	0,8751
	1	0,9945	0,9834	0,9640
	1	0,9966	0,9903	0,9796
	1	0,9620	0,9065	0,8264
	0,969	0,9322	0,8784	0,8008

Будуємо графіки і у функції Т і визначуваний період роботи, відповідний заданому значенню :

(рис. 2.8). На графіці наносимо постійний рівень

год

Рисунок 2.8 – Графіки ймовірності безвідмовної роботи системи

і коефіцієнта оперативної готовності

Отримані показники комплексно характеризують надійність ремонтованої системи.

При виконанні самостійної роботи слід вибрати початкові дані з таблиці 2.13 і використовувати варіанти резервування з рис. 2.7.

Завдання 2.3

При виконанні завдання слід вибрати початкові дані з таблиць 2.13 і використовувати варіанти резервування з рис. 2.7.

Таблиця 2.13 - Варіанти для виконання завдання 2.3

Варіант 1

Початкові дані до розрахунку коефіцієнта готовності

Напрацювання між відмовами
410	760	1680	1360	3060	670	2440	1070	2480	2010	=
Час відновлення
21	70	50	47	36	34	69	102	58	18	=

Початкові дані і результати розрахунку ймовірності безвідмовної роботи елементів

№ елементу	, ч	,
1	4500	0,5	2,16
2	2000	0,7	1,49
3	4000	0,6	1,77

Результати розрахунку ймовірності безвідмовної роботи за варіантами заміщення згідно рисунку 2.7

	Варіанти заміщення згідно рисунку 2.7
	1	2	3	4	5
	6	7	8	9	10

За результатами розрахунків визначаємо найбільш ефективний варіанту заміщення і для цього варіанту здійснюємо наступний розрахунок

	0	1000	1500	2000
	1
	1
	1
	1
	0.969

Варіант 2

Початкові дані до розрахунку коефіцієнта готовності

Напрацювання між відмовами
400	750	1650	1350	3050	650	2400	1050	2450	2000	=
Час відновлення
20	65	45	45	35	30	65	100	55	15	=

Початкові дані і результати розрахунку ймовірності безвідмовної роботи елементів

№ елементу	, ч	,
1	4000	0,5	2,16
2	2000	0,4	2,75
3	3000	0,7	1,49

Результати розрахунку ймовірності безвідмовної роботи за варіантами заміщення згідно рисунку 2.7

	Варіанти заміщення згідно рисунку 2.7
	1	2	3	4	5
	6	7	8	9	10

За результатами розрахунків визначаємо найбільш ефективний варіанту заміщення і для цього варіанту здійснюємо наступний розрахунок

	0	1000	1500	2000
	1
	1
	1
	1

Варіант 3

Початкові дані до розрахунку коефіцієнта готовності

Напрацювання між відмовами
720	770	1650	1370	3050	650	2400	1050	2450	2050	=
Час відновлення
22	72	48	45	35	35	70	100	60	20	=

Початкові дані і результати розрахунку ймовірності безвідмовної роботи елементів

№ елементу	, ч	,
1	5000	0,6	1,77
2	4000	0,5	2,30
3	2000	0,8	1,29

Результати розрахунку ймовірності безвідмовної роботи за варіантами заміщення згідно рисунку 2.7

	Варіанти заміщення згідно рисунку 2.7
	1	2	3	4	5
	6	7	8	9	10

За результатами розрахунків визначаємо найбільш ефективний варіанту заміщення і для цього варіанту здійснюємо наступний розрахунок

	0	1000	1500	2000
	1
	1
	1
	1

Варіант 4

Початкові дані до розрахунку коефіцієнта готовності

Напрацювання між відмовами
350	800	1700	1200	3080	650	2400	1070	2450	2000	=
Час відновлення
20	80	100	20	40	45	80	90	60	20	=

Початкові дані і результати розрахунку ймовірності безвідмовної роботи елементів

№ елементу	, ч	,
1	2000	0,4	2,75
2	3000	0,7	1,49
3	4000	0,5	2,16

Результати розрахунку ймовірності безвідмовної роботи за варіантами заміщення згідно рисунку 2.7

	Варіанти заміщення згідно рисунку 2.7
	1	2	3	4	5
	6	7	8	9	10

За результатами розрахунків визначаємо найбільш ефективний варіанту заміщення і для цього варіанту здійснюємо наступний розрахунок

	0	1000	1500	2000
	1
	1
	1
	1

Варіант 5

Початкові дані до розрахунку коефіцієнта готовності

Напрацювання між відмовами
400	700	2000	1350	3000	500	3000	1050	2500	2050	=
Час відновлення
20	65	45	50	40	35	50	120	60	30	=

Початкові дані і результати розрахунку ймовірності безвідмовної роботи елементів

№ елементу	, ч	,
1	4000	0,5	2,16
2	5000	0,8	1,29
3	2000	0,4	2,75

Результати розрахунку ймовірності безвідмовної роботи за варіантами заміщення згідно рисунку 2.7

	Варіанти заміщення згідно рисунку 2.7
	1	2	3	4	5
	6	7	8	9	10

За результатами розрахунків визначаємо найбільш ефективний варіанту заміщення і для цього варіанту здійснюємо наступний розрахунок

	0	1000	1500	2000
	1
	1
	1
	1

Варіант 6

Початкові дані до розрахунку коефіцієнта готовності

Напрацювання між відмовами
400	700	2000	1350	3000	500	3000	1050	2500	2050	=
Час відновлення
20	65	45	50	40	35	50	120	60	30	=

Початкові дані і результати розрахунку ймовірності безвідмовної роботи елементів

№ елементу	, ч	,
1	5000	0,4	2,75
2	3000	0,6	1,77
3	2000	0,8	1,29

Результати розрахунку ймовірності безвідмовної роботи за варіантами заміщення згідно рисунку 2.7

	Варіанти заміщення згідно рисунку 2.7
	1	2	3	4	5
	6	7	8	9	10

За результатами розрахунків визначаємо найбільш ефективний варіанту заміщення і для цього варіанту здійснюємо наступний розрахунок

	0	1000	1500	2000
	1
	1
	1
	1

Варіант 6

Початкові дані до розрахунку коефіцієнта готовності

Напрацювання між відмовами
300	800	1700	1300	3000	650	2500	1000	2050	3000	=
Час відновлення
20	40	70	50	30	40	80	100	52	28	=

Початкові дані і результати розрахунку ймовірності безвідмовної роботи елементів

№ елементу	, ч	,
1	3000	0,5	2,16
2	5000	0,6	1,77
3	4000	0,8	1,29

Результати розрахунку ймовірності безвідмовної роботи за варіантами заміщення згідно рисунку 2.7

	Варіанти заміщення згідно рисунку 2.7
	1	2	3	4	5
	6	7	8	9	10

За результатами розрахунків визначаємо найбільш ефективний варіанту заміщення і для цього варіанту здійснюємо наступний розрахунок

	0	1000	1500	2000
	1
	1
	1
	1

Варіант 7

Початкові дані до розрахунку коефіцієнта готовності

Напрацювання між відмовами
400	700	1500	1200	3050	700	2400	1100	2500	2000	=
Час відновлення
20	60	70	50	20	50	100	20	60	20	=

Початкові дані і результати розрахунку ймовірності безвідмовної роботи елементів

№ елементу	, ч	,
1	5000	0,6	1,77
2	2000	0,4	2,75
3	4000	0,5	2,16

Результати розрахунку ймовірності безвідмовної роботи за варіантами заміщення згідно рисунку 2.7

	Варіанти заміщення згідно рисунку 2.7
	1	2	3	4	5
	6	7	8	9	10

За результатами розрахунків визначаємо найбільш ефективний варіанту заміщення і для цього варіанту здійснюємо наступний розрахунок

	0	1000	1500	2000
	1
	1
	1
	1

Варіант 8

Початкові дані до розрахунку коефіцієнта готовності

Напрацювання між відмовами
300	1000	1080	1400	3100	700	2500	1000	2500	2000	=
Час відновлення
20	60	40	50	40	35	70	100	55	15	=

Початкові дані і результати розрахунку ймовірності безвідмовної роботи елементів

№ елементу	, ч	,
1	3000	0,6	1,77
2	2000	0,4	2,75
3	4000	0,7	1,49

Результати розрахунку ймовірності безвідмовної роботи за варіантами заміщення згідно рисунку 2.7

	Варіанти заміщення згідно рисунку 2.7
	1	2	3	4	5
	6	7	8	9	10

За результатами розрахунків визначаємо найбільш ефективний варіанту заміщення і для цього варіанту здійснюємо наступний розрахунок

	0	1000	1500	2000
	1
	1
	1
	1

Варіант 9

Початкові дані до розрахунку коефіцієнта готовності

Напрацювання між відмовами
100	500	2000	1500	4000	700	3000	2000	1000	1000	=
Час відновлення
10	50	100	50	20	40	70	120	40	15	=

Початкові дані і результати розрахунку ймовірності безвідмовної роботи елементів

№ елементу	, ч	,
1	2000	0,8	1,29
2	4000	0,4	2,75
3	5000	0,7	1,49

Результати розрахунку ймовірності безвідмовної роботи за варіантами заміщення згідно рисунку 2.7

	Варіанти заміщення згідно рисунку 2.7
	1	2	3	4	5
	6	7	8	9	10

За результатами розрахунків визначаємо найбільш ефективний варіанту заміщення і для цього варіанту здійснюємо наступний розрахунок

	0	1000	1500	2000
	1
	1
	1
	1

Варіант 10

Початкові дані до розрахунку коефіцієнта готовності

Напрацювання між відмовами
300	800	1700	1200	3000	700	2400	1000	2400	2000	=
Час відновлення
10	50	40	40	20	50	70	80	100	10	=

Початкові дані і результати розрахунку ймовірності безвідмовної роботи елементів

№ елементу	, ч	,
1	2000	0,4	2,75
2	5000	0,5	2,16
3	3000	0,6	1,77

Результати розрахунку ймовірності безвідмовної роботи за варіантами заміщення згідно рисунку 2.7

	Варіанти заміщення згідно рисунку 2.7
	1	2	3	4	5
	6	7	8	9	10

За результатами розрахунків визначаємо найбільш ефективний варіанту заміщення і для цього варіанту здійснюємо наступний розрахунок

	0	1000	1500	2000
	1
	1
	1
	1