32. Определенный интеграл. Теорема Коши о существовании определенного интеграла.

Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Определение:Пусть определена на Разобьём на части с несколькими произвольными точками Тогда говорят, что произведено разбиение отрезка Далее выберем произв. Точку ,

Определённым интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю если он существует независимо от разбиения и выбора точек т.е.

Если существует указанный предел, то функция называется интегрируемой на по Риману.

Обозначения.

Интегральная теорема Коши — утверждение из теории функций комплексного переменного.

32. Геометрический и физический смысл определенного интеграла.

Физический смысл:

1) если задана скорость как функция от времени, то путь за время Т равен интегралу от скорости по времени;

2) если задано ускорение как функция от времени, то изменение скорости равно интегралу от ускорения по времени;

Геометрический смысл: если функция y(x) больше нуля на промежутке [a;b], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью ОХ и двумя прямыми х=а и х=b, равна интегралу от этой функции по переменной х на данном промежутке.

32. Формула Ньютона-Лейбница.

Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной.

32. Основные свойства определенного интеграла.

Основные свойства интеграла. Установим ряд важных свойств определенного интеграла. Большая часть этих свойств присуща интегралам от любых интегрируемых функций, но мы будем формулировать их для функций непрерывных.

32. Основные методы интегрирования определенного интеграла.

Функция F( x ), дифференцируемая в данном промежутке X, называется первообразной для функции f ( x ), или интегралом от f ( x ), если для всякого x Î X справедливо равенство:

F ¢ (x) = f(x). (8.1)

Нахождение всех первообразных для данной функции называется ее интегрированием. Неопределенным интегралом функции f ( x ) на данном промежутке Х называется множество всех первообразных функций для функции f ( x ); обозначение -

ò f( x) dx .

Если F( x ) - какая-нибудь первобразная для функции f ( x ), то

ò f( x) dx = F(x) + C, (8.2)

где С - произвольная постоянная.

Непосредственно из определения получаем основные свойства неопределенного интеграла и список табличных интегралов:

1) d ò f(x)=f(x) dx ,

2) ò df ( x)=f(x)+C,

3) ò af ( x) dx =a ò f(x) dx (a=const),

4) ò ( f( x)+g(x)) dx = ò f(x) dx + ò g(x) dx .

Список табличных интегралов

1. ò x m dx = x m +1 /( m + 1) +C ( m ¹ -1).

2. = ln ê x ê +C.

3. ò a x dx = a x / ln a + C (a>0, a ¹ 1).

4. ò e x dx = e x + C.

5. ò sin x dx = cos x + C.

6. ò cos x dx = - sin x + C.

7. = arctg x + C.

8. = arcsin x + C.

9. = tg x + C.

10. = - ctg x + C.

Для интегрирования многих функций применяют метод замены переменной, или подстановки, позволяющий приводить интегралы к табличной форме.

Если функция f ( z ) непрерывна на [ a , b ], функция z=g ( x ) имеет на [ a,b ] непрерывную производную и a £ g ( x ) £ b , то

ò f( g(x)) g ¢ (x) dx = ò f(z) dz , (8.3)

причем после интегрирования в правой части следует сделать подстановку z=g ( x ).

Для доказательства достаточно записать исходный интеграл в виде:

ò f( g(x)) g ¢ (x) dx = ò f(g(x)) dg(x).