1. Элементы линейной алгебры

1.1. Матрицы и действия с ними

Определение. Матрицей размерности m × n называют прямоугольную таблицу чисел

,

где – элементы матрицы; – номер строки, ; – номер столбца, .

Если , то матрицу называют квадратной n-го порядка.

Определение. Матрицу n-го порядка, в которой

называют единичной.

Например, единичная матрица 4-го порядка

.

Определение. Матрицу , получаемую из матрицы А заменой строк и столбцов друг на друга, называют транспонированной.

Например, если , то .

1. Любую матрицу можно умножить на любое действительное число λ:

.

2. Матрицы одной и той же размерности можно складывать (вычитать):

3.  Матрицу А можно умножать на матрицу В, только если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:

,

причем элементы матрицы С находятся по правилу

,

т.е. элементы i-й строки матрицы А умножаются на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения складываются.

1.2. Определители и их вычисление

Каждой квадратной матрице по определенному правилу ставится в соответствие число, называемое определителем.

1. Правило вычисления определителя 2-го порядка:

Побочная Главная

диагональ диагональ

2. Правило вычисления определителя 3-го порядка – правило треугольников:

Правило разложения определителя по элементам 1-й строки:

,

где алгебраические дополнения , а минор – определитель, получающийся из данного путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца.

Таким образом,

.

Аналогично определитель можно раскладывать по элементам любой строки или столбца.

3. Правило вычисления определителя n-го порядка. Определители n-го порядка вычисляются также разложением по элементам любой строки или столбца.

Таким образом,

– разложение определителя по элементам i-й строки или

– разложение определителя по элементам j-го столбца.

1.3. Решение систем линейных уравнений

1. Формулы Крамера для решения систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

где

.

2. Метод Гаусса. Сущность метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система преобразуется в систему ей эквивалентную. Последовательное исключение неизвестных осуществляется с помощью элементарных преобразований системы:

а) перестановок двух любых уравнений;

б) умножений обеих частей одного из уравнений на любое, отличное от нуля число;

в) прибавление к обеим частям одного из уравнений соответствующих частей другого, умноженных на любое число.

Заметим, что удобно работать не с самими уравнениями системы, а с ее расширенной матрицей.

Пример.

Переставим местами два первых уравнения, получим

Составим расширенную матрицу системы

.

Первую строку умножим на «–2» и сложим со второй строкой.

Первую строку умножим на «–1» и сложим с третьей строкой.

Получим матрицу

.

Вторую строку умножим на «–1» и сложим с третьей, получим матрицу

.

Этой матрице соответствует система уравнений: