§ 2. Моделирование прогноза

В исследованиях взаимосвязей реальных величин приходится иметь дело с переменными, имеющими стохастическую природу. Они могут быть представлены наборами входных параметров х₁ⁱ,х₂ⁱ,…,хⁱ_n, i= 1,2,…,L, которые называют аргументами (факторами) и выходных- y₁, y₂,…,y_n. Входные параметры являются управляемыми, выходные же параметры зависят от нас частично. Зависимость переменных, на которую накладываются воздействия случайных факторов, называется статистической зависимостью. Выбор формулы зависимости переменных называется спецификацией уравнения зависимости. Вопрос о нахождении формулы зависимости можно ставить после положительного ответа на вопрос о существовании такой зависимости. В качестве меры для степени линейной зависимости двух переменных используют коэффициент их корреляции. Выборочный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

Величина коэффициента корреляции меняется от –1 до +1. Если его значение по модулю близко к единице, то между х и у существует линейная зависимость, иначе такой зависимости нет. Если же его значение по модулю близко или равно нулю, то между х и у вообще не существует зависимости. Таким образом, исследование зависимости надо начинать с вычисления значения коэффициента корреляции. Вопрос о существовании зависимости можно также решать с помощью графического представления начальных данных, называемого полем корреляции. При вытянутом облаке точек поля корреляции зависимость существует, но возможно не линейная. Параметры зависимости определяют методом наименьших квадратов или его модификацией. Нижней границей количества исходных данных, необходимых для метода наименьших квадратов является величина:

,

где m– число искомых параметров зависимости (для линейной зависимости m=2, k=8). Полученные аналитические зависимости называются уравнениями регрессии и в общем случае имеют вид:

у= f(x¹, x², x³, …,xⁿ).

Регрессия называется парной, если она описывает зависимость между функцией и одной переменной и имеет вид: y= f(x). Регрессия называется множественной, если она описывает зависимость между функцией и несколькими переменными и имеет вид:

у= f(x¹, x², x³, …,xⁿ).

Если зависимости являются линейными, то регрессия называется линейной, в противном случае называется нелинейной.

Если известна последовательность временных значений t₁, t₂, …,t_n и соответсвующие им наборы исследуемой величины у₁, у₂,...у_n то говорят о динамическом (временном) ряде. В составе динамического ряда можно выделить 4-е компоненты: 1) главную тенденцию, или тренд; 2) регулярные колебания относительно тренда; 3) сезонные колебания; 4) остаток, или случайную компоненту, отражающую влияние разнообразных факторов стохастического рахактера. Конкретный динамический ряд не обязательно включает все указанные компоненты. Уравнение регрессии, отражающее общие закономерности или тенденции развития динамического ряда, называется трендовой моделью или трендом. Так как важным свойством тренда является гладкость, при выборе трендовых моделей предпочтение отдаётся непрерывным и дифференцируемым функциям, отражающим главные особенности динамики исследуемого показателя и, прежде всего, тип его развития.

Решение задачи построения трендовой модели можно разбить на этапы.

Выбор класса функций тренда.

используем такие функции:

1. линейную y^d=a₀+a₁t -;

2. показательную y^d=a_0*a₁^t;

3. дробно- рациональную y^d=1/(a₀+ a₁t),

4. логарифмическую y^d=a₀+a₁lnt;

5. степенную функцию y^d=a_0*t^a1

6. гиперболическую y^d=a₀+a₁/t;

7. дробно- рациональную общего вида y^d=t/(a₀t + a₁).

8. параболическая y^d=a₀+a₁t+а₂t²

Оценивание параметров функций тренда.

Для линейных и линеаризируемых моделей широко используется метод наименьших квадратов или его модификации.

Расчёт формальных критериев аппроксимации. Предпочтительнее те функции тренда, которые имеют лучшие значения критериев (меньшую сумму квадратов уклонений, меньшую остаточную дисперсию, больший коэффициент детерминации, и т. д.).

Анализ остаточной компоненты динамического ряда. Остаточная компонента должна быть независимой, с потоянной дисперсией, подчинена нормальному закону распределения. Если эти требования не соблюдаются, то построенная модель не вполне адекватна динамическому ряду.

Выбор функции тренда. Выбор “лучшей” функции производится путём сопоставления значений формальных критериев аппроксимации, процедур оценивания параметров по их сложности, свойств остаточной компоненты а также возможностей экономической интерпретации и использования в прогнозировании.

Предполагая, что тенденция развития исследуемого экономического показателя сохраняется в ближайшем будущем и длина динамического ряда, для которого построен тренд, достаточна для выявления тенденций развития; кроме того полагая, что процесс является устойчиво динамическим (не скачкообразным или постоянным) и обладает инертностью (для значительных изменений характеристик процесса требуется продолжительный период); не ожидается сильных внешних воздействий. Только тогда на основе трендовых моделей делается точечный прогноз и вычисляется доверительный интервал. Расчёт доверительного интервала, позволяющего определить область, в которой с определённой вероятностью следует ожидать прогнозируемую величину, выполняется по схеме:

y_t^инт=y_t^d± taS,

где y_t^d- трендовая модель, ta-значение критерия Стьюдента, S- средняя квадратичная ошибка тренда.

Прогнозирование с помощью трендов - один из простейших методов статистического прогнозирования. Его использование оправдано при недостаточности знаний о природе изучаемого процесса или отсутствии статистических данных, необходимых для применения более совершенных методов прогнозирования.

Разобьём решение задачи прогнозирования на четыре части:

1. выбор наилучшей модели для прогнозирования из 7-ми, предложенных для y^d:

2. построение трендовых моделей y^d для производственного процесса методом наименьших квадратов;

3. определение аппроксимационных оценок построенных моделей:

4. построение точечного прогноза на 1,2 периода вперёд и определение доверительного интервала.

Рассмотрим пример.

Из опыта работы предприятия за 9 лет известны значения потребления электроэнергии y_i (усл.ед.):

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
yi	5,8	9	13	16,5	20	21	25	30	32

Необходимо дать точечный прогноз работы предприятия на 1 и 2 года и определить доверительный интервал.