2.4 Следствия теорем сложения и умножения

2.4.1. Теорема сложения вероятностей совместных событий

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном испытании.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

р(А+В) = р(А) + р(В) – р(АВ) (2.9)

Пример. Система состоит из двух последовательно соединенных элементов с вероятностями отказа q₁ и q₂ соответственно. Система откажет тогда, когда откажет первый или второй элемент или оба элемента.

Вероятность отказа такой системы

g=g₁+g₂ - g₁g₂ (2.10)

Из теоремы умножения вероятностей (для независимых событий) вероятность безотказной работы такой системы р = р₁р₂, где р₁, р₂ - вероятности безотказной работы элементов. Тогда, используя формулу (2.4) получим g=1-p=1-p₁p₂=1-(1-g₁)*(1-g₂)=g₁+g₂-g₁g₂, т.е. то же выражение, что и (2.10).

2.4.2. Формула полной вероятности

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии проявления одного из несовместных событий В₁, В₂,...,В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Р(А)=р(В₁)Р_В1(А)+р(В₂)Р_В2(А)+…+р(В_n)Р_Вn(А). (2.11)

Пример 1. В имеющихся двух наборах деталей вероятность соответствия их ТУ равна 0,9 и 0,95 соответственно. Определить вероятность того, что взятая наугад (из наудачу взятого набора) деталь будет соответствовать ТУ.

Решение. Деталь может быть взята из первого (событие В₁) или из второго набора (событие В₂) р(В₁)=0,5, р(В₂)=0,5. Условная вероятность того, что из первого набора извлечена стандартная деталь р_В1 (А)=0,9, а если из второго, то р_В1(А)=0,95.

Искомая вероятность:

р(А) = р(В₁)р_В1(А) + р(В₂)р_в2(А) = 0,5*0,9 + 0,5*0,95=0,925.

Пример 2. Система имеет (n — 1) — кратное резервирование (рис. 2.2). Вероятности безотказной работы элементов р₁, р_2, …,р_n. Подключение к работе осуществляется переключателем П с вероятностью р_n. В исходном состоянии работает первый агрегат, остальные в режиме ожидания. Отказ переключателя в исходном состоянии не влияет на работу первого агрегата (при этом не происходит подключение второго агрегата, если откажет первый).

Определить вероятность безотказной работы такой системы.

Решение. Используя формулу полной вероятности, запишем:

Рс = p₁*1 + p₂g₁p_n + p₃g₁g₂p_n + p_ng₁g₂…g_n-1p_n^n-1

Если р₁=р₂=…=р_n=р; g₁=g₂=…=g_n=g, то

P_c=p+pgp_n+pg²p_n²+…+p_ng^n-1p_n^n-1 , или кратко р_с=р (gp_n)^k. (2.12)

При идеальном переключателе (р_n=1.0)

р_с=р g^k = р (1- p)^k. (2.13)

Если система имеет два агрегата с идеальным переключателем, то вероятность безотказной работы такой системы р_с = p(l+q) = (l-q)(1+q) = 1-q², что соответствует теореме о вероятности появления хотя бы одного события, т. е. система работает, если исправным остается один агрегат.

При n=3: p_c=p(1+g+g²)=(1-g)(1+g+g²)=1- g³

2.5. Простейший поток событий

Потоком событий называют последовательность событий, происходящих одно за другим в случайные моменты времени.

Примеры:

а) последовательность поступления вызовов на АТС;

б) последовательность отказов сложной системы.

Среди свойств, которыми могут обладать потоки, выделим свойства стационарности, отсутствия последствия и ординарности.

Свойство стационарности определяется тем, что вероятность появления k событий на любых непересекающихся промежутках времени ∆t зависит только от числа к и длительности ∆t. Например, вероятности появлений событий на промежутке времени ∆t одинаковы, т. е.

g_k(∆t)=f(k, ∆t) (2.14)

Свойство отсутствия последействия определяется тем, что вероятность появления событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка.

Свойство ординарности определяется тем, что за малый промежуток времени появление двух и более событий практически невозможно.

Поток событий, обладающий указанными свойствами, называется простейшим (пуассоновским).

Поток характеризуется интенсивностью.

Интенсивностью потока λ называется среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

При известной постоянной интенсивности потока вероятность появления к событий за время ∆t определяется формулой Пуассона

Р_к(∆t)= (2.15)

Эта формула отражает все свойства простейшего потока:

- стационарность, т. к. вероятность появления к событий зависит только от к и длительности ∆t;

- «отсутствие последействия» - не используется информация о событиях до начала рассматриваемого промежутка времени ∆t;

- ординарность.

Чтобы убедиться в отражении свойства ординарности, положим k=0 и k=1. Найдем вероятности непоявления событий и появления одного события:

р_к=0(∆t)=е^-λ∆t, р_к=1(∆t)=λ∆t е^-λ∆t.

Поскольку сумма вероятностей непоявления событий и появления различного количества событий равна единице, то вероятность появления более одного (два и более) события может быть выражена так:

р_к>1(∆t)=1-[р_к=0(∆t)+ р_к=1(∆t)].

Разложив е^-λ∆t в ряд

е^-λ∆t=1-λ∆t+ …

и взяв три члена ряда разложения, получим

р_к>1(∆t)=1-1+ λ∆t - = = (λ∆t)=0 (λ∆t)

lim =0

При уменьшении ∆t величина (λ∆t)² уменьшается быстрее, чем ∆t. Таким образом, при малых ∆t производная р_к>1(∆t) пренебрежительно мала, что и подтверждает свойство ординарности.

Формула (2.15) может быть использована при определении появления к отказов за время ∆t при условии, что отказы независимы.

Если принять k = 0, т. е. рассмотреть такое состояние, когда не наступит ни одного отказа, то получим выражение для вероятности безотказной работы за время ∆t:

р(∆t)= .