Решение задач. Примеры

1. Решение задач этой главы основано на уравнении закона сохранения и превращения энергии с учетом формул изменения внутренней энергии тел и некоторых уравнений механики. Умение правильно применять закон сохранения энергии к конкретным физическим процессам представляет основную трудность при решении задач на теплоту. Особое внимание здесь нужно обратить на различие между количеством теплоты и изменением внутренней энергии и на выбор системы тел (или тела), для которой составляется основное уравнение. Нередко возникают затруднения при числовых расчетах в задачах, связанных с превращением одного вида энергии в другой. Здесь нужно помнить, что в уравнении (1.1) закона сохранения и превращения энергии все три величины Q, ΔU и А должны быть выражены в одних единицах.

2. Задачи об изменении внутренней энергии тел можно разделить на три группы. В задачах первой группы рассматривают такие явления, где в изолированной системе при взаимодействии тел, изменяется лишь их внутренняя энергия без совершения работы над внешней средой. Одни из тел, участвующих в теплообмене, при этом охлаждаются, другие – нагреваются. Согласно закону сохранения и превращения энергии (1.1) для тел, внутренняя энергия которых уменьшается, можно записать:

(1.7)

поскольку ни сами тела, ни над телами работу не совершают (A=0).

Аналогично для тел, энергия которых возрастает, мы получим:

(1.7´)

Из определения понятия количества теплоты и закона сохранения энергии как следствие вытекает:

(1.8)

Перенеся все члены в левую часть равенства, уравнение (7.8) представим в ином виде:

(1.8´)

Последнее уравнение является очевидным следствием первого начала термодинамики – в изолированной системе тел, где происходят только процессы теплопередачи, внутренняя энергия системы не изменяется и, следовательно, алгебраическая сумма изменений энергии отдельных тел равна нулю.

Уравнение (1.8) называют уравнением теплового баланса, оно обычно служит основным расчетным соотношением для всех задач первой группы.

Правила их решения состоят в следующем:

а) Прочитав условие задачи, нужно установить, у каких тел внутренняя энергия уменьшается, у каких – возрастает. Особое внимание следует обращать на то, происходят ли в процессе теплообмена агрегатные превращения или нет.

б) Составить уравнения (1.7) для тел, энергия которых уменьшается, (1.7´)–для тел, энергия которых возрастает, и приравнять полученные суммы.

При записи уравнения теплового баланса в виде (1.8) нужно в выражении для изменения внутренней энергии всегда вычитать из большей температуры тела меньшую и суммировать все члены арифметически, если же уравнение записывается в виде (1.8), необходимо вычитать из конечной температуры тела начальную и суммировать члены с учетом получающегося знака.

В ряде задач задается к.п.д. теплообмена; в этом случае его всегда нужно ставить сомножителем перед .

При определенном навыке можно составлять уравнение (1.8) или (1.8´) теплового баланса сразу, не прибегая к промежуточным выкладкам. Практически при решении задач удобнее пользоваться первым из этих уравнений.

3. В задачах второй группы рассматривают явления, связанные с превращением одного вида энергии в другой при взаимодействии двух тел. Результат такого взаимодействия – изменение внутренней энергии одного тела вследствие совершенной им или над ним работы. Теплообмен между телами здесь, как правило, не учитывают.

Уравнение закона сохранения и превращения энергии в этом случае имеет вид:

(1.9)

Решение таких задач удобно проводить по следующей схеме.

а) Анализируя условие задачи, нужно прежде всего установить, у какого из двух взаимодействующих тел изменяется внутренняя энергия и что является причиной этого изменения – работа, совершенная самим телом, или работа, совершенная над телом. Кроме того, следует убедиться, что в процессе взаимодействия тел теплота извне к ним не подводится, т. е. действительно ли Q=0.

б) Записать уравнение (1.9) для тела, у которого изменяется внутренняя энергия, учтя знак перед А и к.п.д. рассматриваемого процесса. При записи уравнения (1.9) с учетом к.п.д. удобно поступать так. Если по смыслу задачи работа совершается за счет уменьшения внутренней, энергии одного из тел и по каким-либо причинам лишь часть ее идет на совершение работы A, то

(1.9´)

Если же из условия видно, что внутренняя энергия тела увеличивается за счет работы, совершенной над телом, и по каким-либо причинам лишь часть ее идет на увеличение U, то

(1.9´´)

в) Составив уравнение (1.9) или (1.9´´), нужно найти выражение для А и ΔU.

Для А возможно одно из следующих соотношений:

Для ΔU чаще всего достаточно использовать одну из формул:

(сжигание топлива);

(нагрев и плавление тела);

(нагрев и испарение).

Подставляя в исходное уравнение вместо А и ΔU их выражения, получим окончательное соотношение для определения искомой величины. Если в условиях задачи даются дополнительные условия, то к основному уравнению следует, как обычно добавить вспомогательные.

г) Далее нужно выписать числовые значения известных величин, проверить число неизвестных в уравнениях и решить систему уравнений относительно искомой величины.

4. Задачи третьей группы объединяют в себе две предыдущие. В этих задачах рассматривают взаимодействие трех и более тел. В процессе такого взаимодействия к одному из тел подводится некоторое количество теплоты Q, в результате чего изменяется его внутренняя энергия и совершается работа.

Для решения этих задач надо составить полное уравнение закона сохранения и превращения энергии (1.1). Составление такого уравнения включает в себя приемы, описанные в п. 2 и 3.

Пример 1. В закрытом медном калориметре массой m_M=200 г находится лед массой =1 кг при температуре = -10°С. В калориметр впускают пар массой =200 г, имеющий температуру =110°С. Какая температура установится в калориметре? Удельную теплоемкость паров воды в интервале от 100 до 110°С считать равной =1.7·10³ дж/(кг град).

Решение. а) Примем систему пар – лед — калориметр за изолированную и будем считать, что с окружающей средой ее теплообмен ничтожно мал и им можно пренебречь. В такой системе полная внутренняя энергия остается неизменной, так как Q=0 и А=0.

Основным уравнением, описывающим процесс теплового взаимодействия между телами системы, здесь является уравнение теплового баланса с учетом агрегатных превращений. Поскольку в данном примере произведение , нетрудно заметить, что при установившейся температуре в калориметре будет находиться вода при температуре, большей 0°С.

б) При тепловом взаимодействии со льдом и калориметром внутренняя энергия молекул пара уменьшается: при охлаждении от начальной температуры до температуры конденсации =100°С на величину , при конденсации пара в воду – на величину , при дальнейшем охлаждении образовавшейся воды от температуры до окончательно установившейся температуры – на величину . В результате внутренняя энергия горячего тела – пара уменьшится на

За счет этой энергии калориметр нагревается от начальной температуры, равной температуре льда , до окончательной его внутренняя энергия увеличивается на величину . Кроме того, часть энергии пара переходит ко льду. Энергия молекул льда возрастает: при нагревании от начальной температуры до температуры плавления =0°С на величину , в процессе плавления – на величину и при дальнейшем нагревании образовавшейся воды – на величину .

В результате внутренняя энергия холодных тел возрастает на

Так как , то уравнение теплового баланса для данного процесса будет иметь вид:

Решая это уравнение относительно и подставляя числовые данные, взятые из условия задачи и из таблиц, находим:

.

Анализируя полученное выражение, можно заметить, что при достаточно большой массе пара температура может оказаться больше начальной температуры пара , чего в действительности быть не может. Такой результат объясняется тем, что после теплообмена при установившейся температуре одновременно могут существовать две фазы вещества: жидкость и пар, если при охлаждении пар не полностью конденсируется в воду. Уравнение теплового баланса в этом случае будет отличаться от того, которое мы составили. Чтобы не делать лишних вычислений, во всех сомнительных случаях, когда трудно определить, окажется ли вещество в одном или двух агрегатных состояниях, рекомендуется сделать предварительную числовую прикидку – сколько теплоты требуется для нагревания холодного тела до температуры соответствующего превращения (плавления или кипения) и сколько теплоты может выделиться горячим телом при остывании или при полной конденсации (кристаллизации). Сразу в общем виде такие задачи решать нельзя. Если окажется, что , то после перераспределения энергии получится одна фаза вещества, если же будет , то при установившейся температуре будут находиться две фазы – пар и жидкость (жидкость и лед).

Пример 2. При соблюдении необходимых предосторожностей вода может быть переохлаждена до T₁=–10°С. Сколько льда образуется из такой воды массой m₀=1 кг, если в нее бросить кусочек льда и этим вызвать замерзание воды? Какую температуру должна иметь переохлажденная вода, чтобы она целиком превратилась в лед? Удельная теплоемкость переохлажденной воды =4.19·10³дж/(кг град), льда =2.1·10³ дж/(кг град). Удельная теплота плавления льда λ=3.3·10⁵ дж/кг.

Решение. Для того чтобы при охлаждении вода замерзла, в ней должны находиться неоднородные включения, около которых начинается рост кристалликов льда. При отсутствии центров кристаллизации воду можно охладить до температуры значительно ниже 0°С. Такая вода называется переохлажденной.

Если в переохлажденной воде искусственно создать центры кристаллизации, в ней начнет образовываться лед. Молекулы станут переходить в состояние, соответствующее минимуму их потенциальной энергии. Уменьшение потенциальной энергии одной части молекул, образующих лед, вызывает увеличение теплового движения остальных молекул, которое регистрируется нами как нагревание воды. Так как взаимодействием переохлажденной воды с окружающей средой по условию задачи можно пренебречь, то в результате частичной кристаллизации воды в ней произойдет только перераспределение энергии. Полная внутренняя энергия останется неизменной, и, следовательно, уменьшение потенциальной энергии молекул будет равно увеличению их кинетической энергии.

Задача сводится к составлению уравнения теплового баланса при условии, что Q=0, А=0 с учетом агрегатного превращения.

При образовании из переохлажденной воды льда массой m₂ потенциальная энергия молекул уменьшится на величину

.

Эта энергия пойдет на нагревание образовавшегося льда от начальной температуры T₁ до температуры T₀=0°С и нагревание оставшейся после кристаллизации воды массой m₁ на T₀-T₁ градусов (дальнейшее нагревание невозможно, так как при 0°С кристаллизация льда прекратится). Таким образом, вследствие нагревания внутренняя энергия теплового движения молекул увеличится на

По закону сохранения энергии , поэтому уравнение теплового баланса будет иметь вид:

(1)

Кроме того,

. (2)

Из соотношений (1)–(2) находим массу образовавшегося льда:

.

Чтобы замерзла вся переохлажденная вода, энергия, выделившаяся при кристаллизации, должна полностью пойти на нагревание образовавшегося льда, т. е.

(3)

где T_х — начальная температура переохлажденной воды. Из последнего уравнения находим:

Пример 3. В колбе находилась вода при T=0°С. Выкачиванием из колбы воздуха заморозили всю воду в сосуде. Какая часть воды при этом испарилась, если притока теплоты извне не было? Удельная теплота испарения воды при 0°С R=24.8·10⁵ дж/кг. Удельная теплота плавления льда =3.3·10⁵ дж/кг.

Решение. При испарении воды вылетают наиболее быстрые молекулы, вследствие чего суммарная кинетическая энергия оставшихся молекул уменьшается и температура воды понижается. Если из сосуда, в котором происходит испарение, откачивать пары воды и свести до минимума теплообмен с окружающей средой, то кинетическая энергия оставшихся молекул может уменьшиться настолько, что они образуют твердую фазу воды – лед. Поскольку в данном процессе тепло извне не подводится (Q=0) и работа не совершается (А=0), то внутренняя энергия всех молекул остается, постоянной, изменение потенциальной энергии вылетающих молекул воды равно изменению потенциальной энергии оставшихся, так как температура жидкости не изменяется.

При образовании пара массой потенциальная энергия молекул пара возрастает на величину

В процессе образования льда массой потенциальная энергия молекул уменьшается на

Поскольку , то

(1)

причем (2)

По условию задачи дам нужно определить отношение

Из соотношений (1)–(2) находим:

Пример 4. В дьюаровском сосуде, содержащем жидкий азот при температуре =195°С, за время =24 ч испаряется азот объемом =1 дм³ при температуре окружающего воздуха =20°С. Определите удельную теплоту парообразования азота, если известно, что при температуре =0⁰C в том же сосуде за время ==22.5 ч тает лед массой =40 г. Считать, что скорость подвода теплоты внутрь сосуда пропорциональна разности температур снаружи и внутри сосуда. Плотность жидкого азота =0.8 г/см³, удельная теплота плавления льда =3.3·10⁵ дж/кг.

Решение. Вследствие того, то дьюаровский сосуд не является идеальным теплоизолятором, между телами, находящимися в сосуде, и окружающей средой происходит теплообмен. Так как работа при этом не совершается, то ОСНОВБЫМ уравнением, описывающим процесс теплопередачи при испарении азота и плавлении льда, служит уравнение теплового баланса:

В результате теплообмена хранящиеся в сосуде холодные тела нагреваются и могут переходить из одного агрегатного состояния в другое. Теплота, подводимая извне, идет на увеличение внутренней энергии этих тел, причем согласно условию задачи

где – время в течение которого к сосуду подводится количество теплоты Q ( – скорость подвода теплоты); k – коэффициент пропорциональности, зависящий от устройства и материала сосуда; – разность температур снаружи и внутри сосуда.

К. жидкому азоту за время подводится количество теплоты, равное

.

За счет этой теплоты внутренняя энергия молекул азота возрастает на величину

где – масса испарившегося азота; R – удельная теплота парообразования.

Согласно, закону сохранения и превращения энергии

. (1)

Проводя аналогичные рассуждения для льда, получим:

. (2)

Дополнительные условия позволяют записать:

(3)

Исключая из уравнений (I)–(3) неизвестные k и находим:

дж/кг.

Пример 5. Лед массой М = 1 кг при температуре 0°С заключен в теплонепроницаемый сосуд и подвергнут давлению р=6.9·10⁷ н/м². Сколько льда расплавится, если при. увеличении давления на =3.8·10⁷н/м² температура плавления льда понижается на =1⁰С? Понижение температуры плавления от 0°С считать пропорциональным увеличению давления сверх атмосферного.

Решение. Если лед подвергнуть давлению больше атмосферного, температура его плавления понизится и такой, лед, находясь при =0°С, плавится, поглощая тепло из окружающей среды.

При достаточной теплоизоляции льда средой, отдающей тепло, служит сам лед. Работа, совершаемая внешними силами, идет в этом случае на перераспределение энергии между молекулами воды. Часть исходного количества льда растает, часть охладится до новой температуры плавления и система придет в равновесное состояние:

При отсутствии тепловых потерь количество- теплоты, выделенной при охлаждении не растаявшего льда от 0°С до температуры плавления , равно количеству теплоты, пошедшей на его частичное плавление

Температура плавления при давлении определяется из условия, что ее понижение пропорционально увеличению давления , т. е.

(1)

где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от физических свойств вещества.

Вместе с уравнением теплового баланса это уравнение является основным соотношением для решения данной задачи.

При сжатии льда и понижении температуры плавления от до внутренняя энергия теплового движения молекул льда массой М уменьшится на

где с – удельная теплоемкость льда.

Так как система изолирована, то вся теплота, выделяющаяся при сжатии, идет на плавление льда массой m:

Согласно закону сохранения энергии

(2)

Кроме того, дополнительное условие позволяет записать

(3)

Решая уравнения (1)–(3) совместно относительно т и подставляя числовые значения, получим:

Пример 6. Некоторая установка, развивающая мощность N=30квт, охлаждается проточной водой, текущей по спиральной трубке сечением S =1 см². При установившемся режиме проточная вода нагревается на =15⁰С. Определите скорость воды , предполагая, что на нагревание воды идет =0.3 мощности.

Решение. В процессе работы установки часть механической энергии расходуется на нагревание проточной воды, охлаждающей установку. Так как теплообмен с окружающей средой не учитывается (Q=0), то указанная часть мощности установки идет на увеличение внутренней энергии воды и, согласно закону сохранения и превращения энергии, должно быть

Если за время в трубках нагревается вода массой m на градусов, то работа, совершенная за это время (при мощности N), и изменение внутренней энергии воды будут равны соответственно

и

где с – удельная теплоемкость воды.

Подставляя выражения для А и в исходное уравнение энергетического баланса, получим:

При течении потока по трубе сечением S масса жидкости , прошедшей через это сечение за время , равна:

где – плотность жидкости; — скорость течения.

С учетом этого выражения уравнение закона сохранения и превращения энергии в окончательном виде можно записать так:

откуда

м/с.

Пример 7. Санки массой m=5 кг скатываются с горы, которая образует с горизонтом угол =30°. Пройдя расстояние l=50 м, санки развивают скорость =4.1 м/сек. Вычислите количество теплоты, выделенное при трении полозьев о снег.

Решение. При движении одного тела по поверхности другого часть механической энергии идет из-за трения на увеличение внутренней энергии соприкасающихся тел. Мерой изменения энергии здесь могут служить и работа А, и количество теплоты Q. Как А, так и Q показывают, на сколько возрастет внутренняя энергия беспорядочного движения молекул при изменении энергии направленного движения, вызванном трением санок о снег. Следует заметить, что работа силы трения скольжения всегда связана с нагреванием тел. Поскольку изменение внутренней энергии тел в процессе движения санок по условию задачи не рассматривается ( =0), то согласно (1.1) исходной формулой для решения задачи может служить уравнение

При его записи мы учли, что тепло отводится от системы (Q < 0) и работа совершается санками (А > 0).

Работу А, совершаемую внешними силами в системе санки – Земля, можно вычислить двумя способами: или с помощью закона сохранения энергии, или с помощью второго закона Ньютона. Проще воспользоваться первым способом. В системе санки — Земля на санки действуют две внешние силы: сила трения F_тр и нормальная реакция опоры N. Так как N, то работа этой силы равна нулю и изменение механической энергии происходит лишь под действием силы трения, т. е. А= F_тр.

Выбрав первое положение системы в начале движения санок, второе – в конце перемещения, можно записать:

Так как полная механическая энергия санок в первом и втором положениях соответственно равна:

то

и исходное уравнение можно переписать так:

Пример 8. Свинцовая пуля, летящая со скоростью =400 м/сек, попадает в стальную плиту и отскакивает от нее со скоростью =300 м/сек. Какая часть пули расплавится, если ее температура в момент удара была равна =107°С и на нагревание пули пошло =0.8 всей работы, совершаемой при ударе? Удельная теплоемкость и удельная теплота плавления свинца равны соответственно с=0.126·10³ дж/(кг град), =25·10³дж/кг.

Решение. В процессе удара пули о плиту происходит уменьшение кинетической энергии пули, вследствие чего увеличивается ее внутренняя энергия. Пуля нагревается до температуры плавления и частично плавится без теплообмена с окружающей средой (Q=0). Согласно закону сохранения и превращения энергии

где – коэффициент, показывающий, какая часть механической энергии пошла на нагревание и агрегатное превращение свинца.

Если в момент удара пуля обладала кинетической энергией , а после удара (считаем, что расплавленный свинец находится внутри пули и отлетает вместе с ней), то работа силы сопротивления плиты при ударе равна:

При нагревании пули массой т от начальной температуры до температуры плавления =327°С и плавлении свинца массой внутренняя энергия пули возрастает на величину

Подставляя выражения для А и в исходное уравнение, получим уравнение энергетического баланса в окончательном виде:

Отношение , показывающее, какая часть пули расплавилась, отсюда равно: