Прототип b11 № 27116
Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.
Решeние:
При
одинаковой площади основания большим
объемом будет обладать та часть, высота
которой больше, то есть нижняя. Объем
данной пирамиды относится к объему
исходной как
и
поэтому равен 10.
Ответ: 10.
Прототип B11 № 27179
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды.
Решeние:
В правильном шестиугольнике сторона
равна радиусу описанной окружности,
поэтому найдем высоту пирамиды по
теореме Пифагора:
.
Площадь основания
.
Тогда объем пирамиды
.
Ответ: 12.
Прототип B11 № 27174
Объем
шара равен 288
.
Найдите площадь его поверхности, деленную
на
.
Решeние:
Объем шара радиуса
вычисляется
по формуле
,
откуда
.
Площадь его поверхности:
.
Ответ: 144.
Прототип B11 № 27112
От треугольной призмы, объем которой равен 6, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.
Решeние:
Объем призмы больше объема пирамиды с такой же площадью основания и высотой в 3 раза. Объем оставшейся части составляет тогда две трети исходного, он равен 4.
Ответ: 4.
Прототип B11 № 27141
Площадь поверхности куба равна 24. Найдите его объем.
Решeние:
Площадь поверхности куба со стороной равна . Объем куба равен
.
Ответ: 8.
Прототип B11 № 27111
Боковые
ребра треугольной пирамиды взаимно
перпендикулярны, каждое из них равно
3. Найдите объем пирамиды.
Решeние:
Заметим, что
.
Поскольку
,
далее имеем:
.
Ответ: 4,5.
Прототип B11 № 27103
Диагональ
прямоугольного параллелепипеда равна
и
образует углы 30
,
30
и 45
с плоскостями граней параллелепипеда.
Найдите объем параллелепипеда.
Решeние:
Ребро параллелепипеда напротив угла в
равно
,
поскольку образует с заданной диагональю
и диагональю одной из граней равнобедренный
треугольник. Два другие ребра по
построению лежат в прямоугольных
треугольниках напротив угла в
и
равны, поэтому половине диагонали. Тогда
объем параллелепипеда:
Ответ: 4.
Прототип b11 № 27163
Радиусы
двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус
шара, площадь поверхности которого
равна сумме площадей их поверхностей.
Решeние:
Из условия
найдем,
что радиус такого шара
.
Ответ: 10.
Прототип b11 № 27126
В
куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем
этого шара, деленный на
.
Решeние:
Радиус вписанного в куб шара равен
половине длины ребра:
.
Тогда объем шара
.
Ответ: 4,5.
Прототип b11 № 27106
Через
среднюю линию основания треугольной
призмы, объем которой равен 32, проведена
плоскость, параллельная боковому ребру.
Найдите объем отсеченной треугольной
призмы.
Решeние:
Площадь основания отсеченной части меньше площади основания всей призмы в 4 раза (так как и высота и основание треугольника уменьшились в 2 раза). Высота осталась прежней, следовательно, объем уменьшился в 4 раза.
Ответ: 8.