8.7. Составление корреляционной решетки

Для расчета коэффициента корреляции по способу моментов составляют так называемую корреляционную решетку. Допустим надо вычислить коэффициент корреляции между длиной тела и обхватом груди (табл. 13).

По каждому признаку составляют вариационные ряды, для чего находят минимальный или максимальное значения каждого признака, величину классового интервала, границы и средние значения классовых интервалов способами, описанными выше. Составление корреляционной решетки длины тела х и обхвата груди у приведено в таблице 14.

В графах 1 и 2 таблицы 14 приведены значения классовых интервалов l_x и их средние значения l_xcp; в графе 18 – численность Рх в каждом классе по длине тела х (величина классового интервала i_x = 2 см).

В графах 3–17 указаны значения классовых интернатов l_y и их средние значения l_ycp по признаку у (обхвату груди); численность в каждом классе по признаку y указана в строке Р_у (величина классового интервала i_y = 2 см).

Чтобы определить степень тесноты корреляции между двумя признаками прежде всего находят, как распределяются значения одного признака в каждом классе другого признака, т.е. в каждом классовом интервале по длине тела следует сделать раскладку по обхвату груди.

Например, в классовом интервале по длине тела 134,0–135,9 см численность равна 14; для указанных значений по длине тела имеем следующие значения по обхвату груди, см: 65,4; 62,9; 69,2; 68,4; 68; 0,81,4; 67,2; 67,4; 66,6; 66,8; 63,5; 60,5; 64,4; 60,4 (табл. 13). Расположив эти значения в порядке возрастания, имеем:

Таблица 13

Значения длины тела и обхвата груди, см (мальчики 10 лет)*

Длина тела	Обхват груди	Длина тела	Обхват груди	Длина тела	Обхват груди	Длина тела	Обхват груди	Длина тела	Обхват груди
126,8	59,6**	136,6	65,1	139,6	65,5	142,6	67,1	147,0	80,6
126,9	62,2	136,6	67,0	139,6	68,1	142,6	71,4	147,1	75,6
127,5	60,6	136,6	66,0	139,6	67,8	142,8	73,5	147,2	76,4
128,1	62,9	136,7	67,8	139,7	67,4	142,8	69,8	147,3	85,0
128,6	68,2	136,8	64,8	139,7	65,8	142,9	70,6	147,4	76,8
128,7	61,5	136,8	73,6	139,8	75,0	143,0	64,6	147,4	71,5
129,0	61,5	136,9	62,7	139,8	63,8	143,1	79,4	147,6	65,7
131,2	70,7	136,9	61,9	139,9	69,6	143,2	71,0	147,9	77,0
131,4	60,1	136,9	68,1	139,9	68,7	143,2	83,0	148,0	65,2
131,9	66,3	137,0	65,3	140,2	64,4	143,2	75,2	148,2	69,9
132,1	72,1	137,0	79,8	140,2	83,2	143,5	68,6	148,4	71,7
132,4	63,7	137,2	71,8	140,2	74,6	143,6	68,8	148,7	68,3
132,4	65,4	137,2	70,5	140,4	68,9	143,6	62,4	148,8	69,7
132,6	74,5	137,4	69,6	140,4	73,4	143,7	64,8	148,9	65,6
133,1	62,7	137,6	69,1	140,5	67,0	143,8	72,2	149,2	73,4
133,4	65,8	137,6	72,1	140,6	76,7	143,9	86,1	149,4	71,0
133,5	68,1	137,7	65,8	140,9	73,8	144,2	62,1	149,4	78,6
133,8	70,0	137,8	68,5	141,0	66,9	144,6	61,1	149,6	71,4
134,1	65,4	137,9	69,8	141,0	70,2	144,7	68,2	149,9	76,5
134,5	62,9	138,0	72,8	141,0	74,3	144,8	68,0	150,1	75,9
134,6	69,2	138,0	66,4	141,2	69,4	144,9	86,7	150,2	72,2
134,7	68,4	138,2	68,4	141,2	65,8	144,9	63,3	150,4	69,9
134,9	68,0	138,2	73,6	141,2	82,6	145,0	69,8	150,8	76,2
135,0	81,4	138,2	70,4	141,3	63,9	145,2	67,6	151,3	84,7
135,1	67,2	138,4	71,8	141,4	64,1	145,3	66,4	151,4	71,0
135,2	67,4	138,4	68,1	141,4	69,8	145,6	70,3	151,6	70,1
135,2	66,6	138,6	65,1	141,4	68,7	145,6	76,0	151,8	74,0
135,3	66,8	138,7	65,6	141,5	65,1	145,7	66,0	151,9	71,5
135,5	63,5	138,8	72,3	141,7	72,4	145,8	65,4	152,1	70,1
135,8	60,5	138,9	69,7	141,7	67,8	145,9	74,6	152,4	82,6
135,8	64,4	138,9	69,8	141,8	67,0	145,9	73,6	152,6	77,5
135,9	60,4	139,0	73,4	141,8	68,4	146,2	75,4	152,7	82,4
136,1	69,7	139,3	66,1	141,8	72,2	146,3	70,8	154,7	71,1
136,2	64,6	139,2	70,9	141,9	68,4	146,6	62,9	155,2	87,6***
136,2	70,8	139,4	64,3	142,0	79,8	146,7	74,2	156,4	75,8
136,6	67,6	139,4	64,0	142,2	66,1	146,8	80,2	158,4	80,0

*Группа значений по длине тела и соответствующая им группа значений по обхвату груди, относящихся к одному классовому интервалу по длине тела, заканчиваются числом, набранным полужирным шрифтом

Итак, в этом интервале по длине тела (134,0–135,9 см) значения по обхвату груди располагаются по следующим интервалам:

Iу, см	Численность
58,5–60,4	1
60,5–62,4	1
62,5–64,4	3
64,5–66,4	1
66,5–68,4	6
68,5–70,4	1
80,5–82,4	1

То же следует выполнить для каждого класса по длине тела. Причем в корреляционную решетку следует вносить лишь конечные результаты (табл. 14). В результате будет получено как распределение обхвата груда в каждом классе по длине тела, так и распределение длины тела в каждом классе по обхвату груди. Сумма цифр, записанная в клетках корреляционного поля, должна равняться общему числу случаев (в данном примере – 180). Сумма цифр в каждом классе должна совпадать с численностью итоговых рядов (графа 18 и строка Р_у корреляционной решетки) по каждому отдельному признаку.

Далее следует найти условные отклонения каждого из признаков от своих условных средних величин, т. е. заменить средние значения классовых интервалов признака х и признака у условными отклонениями от условной средней величины и записать их в графу 19 и строку а_у таблице 14. В качестве условной средней по длине тела в данном примере выбраны величина 140,45 см, по обхвату груди – 71,45 см. Эти интервалы следует выделить в таблице 14. Затем заполняют графы 20 и 21, строку Р_уа_y² и подсчитывают ΣР_хa_х , ΣР_хa_х², ΣР_ya_y и строку ΣР_ya_y².

Далее вычисляют, на сколько отклоняются значения обхвата груди в условных единицах от своей условной средней величины в каждом классовом интервале по длине тела, т. е. ΣР_ya_y и записывают ее в графу 22.

Для удобства вычисления на отдельный бланк переносят условные отклонения a_y от условной средней по обхвату груди, т. е. делают подвижную шкалу в масштабе граф следующего вида:

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Передвигая эту шкалу по корреляционной решетке так, чтобы нулевая точка шкалы всякий раз соответствовала нулевому классу у (70,5–72,4), вычисляют суммы произведений с учетом знака.

Так, в классовом интервале по длине тела 134,0–155,9 см произведение численности по обхвату груди на соответствующие условные отклонения составит:

Условные отклонения по обхвату груди третьему	–6	–5	–4	–3	–2	–1	+5
Численность по классовым интервалам обхвата груди в пятом классе по длине тела	1	1	3	1	6	1	1	Итого: 14
Произведения численности по обхвату груди на соответст­вующие условные отклонения	1 (–6)	1 (–5)	3 (–4)	1 (–3)	6 (–2)	1 (–1)	1 (5)	Итого: –34

Произведения подсчитывают для каждого классового интервала. В корреляционную решетку записывают итоговую величину Р_ya_y (графа 22) для каждого классового интервала по длине тела.

Следующий этап – вычисление суммы этих отклонений, т. e. определяют ΣР_ya_y по горизонтали. В cтpоке Р_ya_y эта сумма получена путем перемножения итоговых численностей по обхвату груди на условные отклонения, в графе 22 по горизонтали эта сумма получена путем перемножения численностей по обхвату груди в каждом интервале по длине тела на условные отклонения по обхвату груди (после их суммирования). В итоге получается то же самое значение ΣР_ya_y.

После этого находят сумму произведений отклонений двух признаков, т. е. ΣР_ya_ya_x.. Для этого значения обхвата гpyди в условных единицах в каждом классовом интервале по длине тела умножают на величину условных отклонений длины тела, т.е. перемножают построчно цифры графы 22 по горизонтали на значения графы 19. Итоги записывают в графу 23 (построчно). Просуммировав эти значения, получают сумму произведений отклонений двух признаков от условных средних величин – ΣР_ya_ya_x = 797 в условных единицах.

Прежде чем переходить к вычислению основных параметров каждого из признаков и степени связи между признаками, все ранее найденные суммы проверяют, т. е. делают так называемую «косую» проверку решетки (табл. 15).

(ΣР_хa_х, ΣР_хa_х², ΣР_ya_y, ΣР_ya_y² и ΣР_ya_ya_х)

Для этого следует найти ряд Р_i, суммируя частоты по диагоналям (как показано на таблице 14). На корреляционной решетке для облегчения последующих расчетов проводят три основные диагонали: две крайние и диагональ, проходимую через пересечение нулевых классов х и у, однако расчет производят по всем диагоналям решетки. Так, в первых пяти диагоналях нашей решетки получены следующие численности:

Диагональ	1	2	3	4	5
Численность	1	0	6	3	2

Т

аблица 14

lx, см	lx ср, см	ly, см																												Px			ax			Pxax			Pxa2x			Pyay			Pyayax
		58,5–60,4	60,5–62,4		62,5–64,4	64,5–66,4		66,5–68,4		68,5–70,4		70,5–72,4		72,5–74,4		74,5–76,4		76,5–78,4		78,5–80,4		80,5–82,4		82,5–84,4		84,5–86,4		86,5–88,4
		ly ср, см
		59,45		61,45	63,45		65,45		67,45		69,45		71,45		73,45		75,45		77,45		79,45		81,45		83,45		85,45		87,45
1	2	3		4	5		6		7		8		9		10		11		12		13		14		15		16		17			18			19			20			21			22			23
126,0–127,9	126,95	1		2																												3			–7			–21			147			–16			112
128,0–129,9	1 28,95			2	1																											4			–6			–24			144			–15			90
130,0–131,9	130,95	1					1																									3			–5			–15			25			–9			45
132,0–133,9	132,95				2		2		1		1		1				1															8			–4			–32			128			–15			60
134,0–135,9	134,95	1		1	3		1		6		1												1									14			–3			–42			126			–34			102
136,0–137,9	136,95			1	1		6		4		5		4		1						1											23			–2			–46			92			–35			70
138,0–139,9	138,95				3		6		5		5		3		3		1															26			–1			–26			26			–40			40
140,0–141,9	140,95				3		2		6		5		2		3		1		1						2							25			0			0			0			–15			0
142,0–143,9	1 42,95			1			3		1		3		4		1		1				2				1		1					18			1			18			18			5			5
144,0–145,9	144,95			2	1		3		3		2				1		2												1			15			2			30			60			–18			–36
146,0–147,9	146,95				1		1						2		1		3		2		1		1				1					13			3			39			117			22			66
148,0–149,9	148,95						2		1		2		3		1				1		1											11			4			44			176			–2			–8
150,0–151,9	150,95										2		1		1		2										1					9			5			45			225			10			50
152,0–153,9	152,95																1		1				1		1							4			6			24			144			13			78
154,0–155,9	154,95														1																	1			7			7			49			1			7
156,0–157,9	156,95																1												1			2			8			16			128			10			80
158,0–159,9	158,95																				1											1			9			9			81			4			36
Px		3		9	15		27		27		28		23		13		12		5		6		3		4		3		2			180						ΣPxax = 26			ΣPxa2x = 1736			ΣPyay = –134			ΣPyayax = 797
ax		–6		–5	–4		–3		–2		–1		0		1		2		3		4		5		6		7		8
Pyay		18		–45	–60		–81		–54		–28		0		13		24		15		24		15		24		21		16			ΣPyay = –134
Pya2y		108		225	240		243		108		28		0		13		48		45		96		75		144		147		128			ΣPya2y = 1648

К

77

орреляционная решетка длины тела и обхвата груди (мальчики 10 лет)

Сумма Р_i по всем диагоналям должна быть равна общей численности выборки (в нашем примере 180). Диагональ, проходящая через пересечение нулевых классов, считается нулевой. В графе а_i пишут ycловныe отклонения: вверх от нулевого класса – отрицательные, вниз – положительные (табл. 15).

Таблица 15

Косая проверка решетки

Pz	az	Pz az	Pz az2	Pz	az	Pz az	Pz az2
1	–8	–8	64	22	0	0	0
–	–7	–	–	30	1	30	30
6	–6	–36	216	18	2	36	72
3	–5	–15	75	16	3	48	144
2	–4	–8	32	13	4	52	208
6	–3	–18	54	9	5	45	225
16	–2	–32	64	8	6	48	288
24	–1	–24	24	6	7	42	294
				180		ΣРzaz = +160	ΣРzaz2 = 1790

Далее вычисляю Σ P_z a_z аналогично ΣР_хa_х , ΣР_ya_y. Сумма ΣP_xa_z должна быть равна разности сумм ΣР_хa_х и ΣР_ya_y,т. е. ΣР_za_z = ΣР_хa_х – ΣР_ya_y.

В данном примере ΣР_za_z = 26 – (–134) = 160. Р_za_z² вычисляют аналогично ΣР_хa_х² и ΣР_ya_y². Проверку производят по формуле:

P_x a_z² = ΣР_хa_х² + ΣР_ya_y² – 2ΣР_ya_ya_х.

^{В данном примере:}

P_x a_z² = 1736 + 1648 – 2·797 = 1790.

Только после «косой» проверки (при совпадении результатов) можно переходить к расчету основных параметров по каждому из признаков и расчету коэффициента корреляции.