Негізгі элементар функцияларды Маклорен қатарына жіктеу
Показательная функция
.
теңдігі
кез келген
үшін
орындалады
және
болғандықтан функциясының
(21) Маклорен қатары кез келген
үшін былай жазылады:
.
(22)
Функция
.
Кез келген
үшін Маклорен қатары былай жазылады:
.
3) Функция
.
Кез келген
үшін Маклорен қатары былай жазылады:
4)
Степенная
функция
.
Кез келген нақты
және
үшін Маклорен қатары былай жазылады:
.
5)
Логарифмдік функция:
.
болғандағы
қатарын
интегралдау арқылы логарифмдік
функцияның кез келген
үшін Маклорен қатары былай жазылады:
.
6)
функцияның
кез келген
үшін Маклорен қатары былай жазылады:
.
7)
функцияның кез келген
үшін Маклорен қатары былай жазылады:
.
Мұнда
;
;
Мысал-17.
санын
-ге
дейінгі дәлдікпен есептеу үшін (22)
формуланы қолданамыз.
Мұнда
деп
алсақ, онда
теңдігін
аламыз.
қалдық
мүшесі үшін келесі теңсіздік орындалады:
.
Сондықтан
.
Тақырып: Фурье қатары
Анықтама.
өрнегін
Фурье қатары деп атайды, мұнда
,
,
сандары коэффициенттері және әрбір
жіктелу үшін жеке анықталады.
Егер
периоды
2-ге
тең периодты функция болса, онда бұл
функцияны Фурье қатарына жіктеуге
болады:
Егер
сан қатары жинақты болса, онда (23) Фурье қатары абсолютты жинақты болады. Ал Фурье қатарының коэффициенттері былай анықталады:
Жалпы, функцияның Фурье қатарына жіктелуі мүмкіндігін былай тұжырымдауға болады:
Егер функциясы периоды 2-ге тең периодты функция болса және [-;] кесіндісінде шенелген, үзікті-бірсарынды болса, онда функциясын Фурье қатарына жіктеуге болады. Мұнда функцияның үздіксіздік нүктелерінде қатар қосындысы мен функция мәні беттеседі, ал үзіліс нүктелерінде қатар қосындысы оң жақты және сол жақты шектерінің арифметикалық ортасына тең.
Мысал-18.
функциясын
аралығында Фурье қатарына жіктеу керек.
Шешуі: Функция көрсетілген аралықта үздіксіз, сондықтан оны 2-ге тең периодпен оңға және солға қарай шексіз жалғастырсақ, онда үзікті-бірсарынды периодты функцияны аламыз (1 сурет). Онда берілген функцияны аралығында Фурье қатарына жіктеуге болады және коэффициенттері (24) формула бойынша анықталады:
Осы сияқты
Онда Фурье қатары былай жазылады:
немесе
Жұп және тақ функциялар үшін жазылатын Фурье қатары
Егер функциясы жұп функция болса, онда функцияның Фурье қатарының коэффициенттері былай анықталады:
Егер функциясы тақ функция болса, онда функцияның Фурье қатарының коэффициенттері былай анықталады:
Мысал-19.
функциясын
Фурье
қатарына жіктеу керек.
Шешуі: Функция жұп болғандықтан (25) формуланы қолданамыз:
Сонымен, бізге қажет Фурье қатары былай жазылады:
Егер
мұнда
деп
алсақ, онда келесі теңдікті аламыз:
Егер
(27) формулада
деп алып
теңдігін қолдансақ, онда
теңдіктерін аламыз, яғни мына теңдікті аламыз:
Периоды 2l–ге тең функцияның Фурье қатары
Егер
периоды 2l-ге
тең периодты функция болса, онда бұл
функцияны
аралығында Фурье қатарына жіктеуге
болады:
Негізгі әдебиет:
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.2 М.:Наука,1985г. (стр. 245-250)
Гусак А.А. Высшая математика Т.2. Мн.: Тетро Системс, 2001г. (стр. 114-119)
Бақылау сұрақтары:
1. Функционалды қатарды анықтау.
2. Жинақтылық облысы.
3. Функционалды қатардың бірқалыпты жинақтылығы.
4. Дәрежелік қатарлардың анықтамасы.
5. Дәрежелік қатарлардың жинақтылық радиусы.
6. Дәрежелік қатарлардың жинақтылық облысы.
7. Тейлор қатары.
8. Функцияны Тейлор қатарына жіктеу
9. Тейлор және Маклорен қатарларын қолдану.
10. Фурье қатарының анықтамасы
11. Жұп және тақ функциялар үшін жазылатын Фурье қатары
12. Периоды 2l–ге тең функцияның Фурье қатары
Студенттердің жеке тапсырмалары
Тапсырма-1. Қатар қосындысын табыңдар.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Тапсырма-2. Қатарды жинақтылыққа зерттеңдер
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Тапсырма-3. Қатарды жинақтылыққа зерттеңдер
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Тапсырма-4. Қатарды жинақтылыққа зерттеңдер
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Тапсырма-5. Қатарды жинақтылыққа зерттеңдер
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Тапсырма-6. Қатарды жинақтылыққа зерттеңдер
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Тапсырма-7. Қатарды жинақтылыққа зерттеңдер
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Тапсырма-8. Қатар қосындысын дәлдігімен есептеңіздер.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Тапсырма-9. Қатардың жинақтылық радиусын табыңыздар.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Тапсырма-10. Қатардың жинақтылық облысын табыңыздар.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Тапсырма-11. Қатардың жинақтылық облысын табыңыздар.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Тапсырма-12. Қатардың қосындысын табыңыздар.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10 .
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Тапсырма-13. Қатардың қосындысын табыңыздар.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Тапсырма-14. Функцияны маклорен қатарына жіктеңдер.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Тапсырма-15. Интегралды 0,001-ге дейінгі дәлдікпен есептеңіздер.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
