Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле
Теорема
2.
Если
и
- дифференцируемые функции, то
или
.
(3)
Формула (3) называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
Можно выделить следующие типы интегралов, для нахождения которых используется формула интегрирования по частям:
I.
,
,
.
II.
,
,
,
,
,
где
и
- целое положительное число.
Для
нахождения интегралов из первой группы
полагаем
,
а остальные сомножители подынтегральной
функции задают
.
Для
интегралов из второй группы полагаем
,
а а остальные сомножители подынтегральной
функции задают
.
Пример 5.
1)
Вычислим интеграл
.
Пусть
,
тогда
.
По формуле (3) получаем, что
.
Следующие интегралы вычисляются подобным же образом.
2)
.
3)
.
4)
,
так как
,
то
.
5)
.
Для последнего интеграла снова используем
метод интегрирования по частям
.
Окончательно получаем, что
.
6) Рассмотрим еще один пример, где комбинируются два метода.
.
В последнем интеграле сделаем замену
(можно и
),
тогда
.
Следовательно,
.
Окончательно получаем, что
.
Интегрирование рациональных функций
Определение 3. Рациональной функцией от переменной х называется отношение двух многочленов от переменной х, т.е.
,
где
- вещественные числа.
Определение
4.
Если степень
меньше степени
,
то рациональная функция
называется правильной, и неправильной
в противном случае.
Пример
6.
- правильные рациональные функции;
-
неправильные рациональные функции.
Теорема 3. Любую неправильную рациональную функцию можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной функции.
Для получения этого представления можно использовать метод деления “уголком” многочлена на многочлен.
Пример 6.
1)
. Рассмотрим неправильную рациональную
функцию
.
Выполним делением с остатком числителя
на знаменатель:
.
Таким
образом,
.
2)
. Рассмотрим неправильную рациональную
функцию
.
Аналогично выполняем деление:
В
итоге получаем, что
.
Известно, что любой многочлен с вещественными коэффициентами не нулевой степени можно разложить на множители первой степени и второй степени с вещественными коэффициентами, то есть
,
(4)
где
- вещественные числа,
- натуральные числа и
.
Последние условия означают, что
квадратные трехчлены, участвующие в
разложении (4), не имеют вещественных
корней.
Теорема
4.
Если
- правильная рациональная функция, а
многочлен
представлен в виде (4), то эту функцию
можно единственным образом разложить
в виде:
Рациональные
функции
называются простейшими I
рода, а
- простейшими второго рода.
Пример 7. Приведем несколько примеров разложений правильной дроби на сумму простейших.
1)
;
2)
;
3)
.
Для нахождения коэффициентов в разложении (4) можно умножить слева и справа на общий знаменатель и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях.
Пример 8.
1)
Найдем разложение на простейшие
рациональной функции
.
По теореме 4 имеем
.
Тогда
(умножим слева и справа на
)
или
.
Приравняв коэффициенты перед x
и свободные члены, получим систему
уравнений:
Следовательно,
и
и
.