2. Относительная частота и вероятность события

Пусть комплекс условий S воспроизводится n раз, причём событие A наступает m раз.

Число m – частота события A,

число – относительная частота события A при этих испытаниях.

Оказывается, что при относительная частота колеблется около некоторой постоянной , называемой вероятностью события A. Тогда относительную частоту можно рассматривать как приближённое значение вероятности: .

События называются равновозможными, если при данном комплексе условий S каждое из них имеет одинаковую возможность наступить.

Пусть пространство элементарных исходов  состоит из n равновозможных несовместных событий ( ), сумма m из которых даёт событие A. Тогда отношение числа m исходов, благоприятствующих появлению события A, к числу n всех равновозможных исходов опыта называется вероятностью события A:

. (1.1)

Формула (1.1) называется классическим определением вероятности. Числовая функция удовлетворяет следующим аксиомам:

1. Вероятность достоверного события равна единице: ;

2. Вер-ть невозможного события равна нулю: ;

3. Вер-ть любого события есть неотрицательное число, заключённое между 0 и 1 : ;

4. Веро-ть суммы двух несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий: .

Пример 1.3. Из 5000 взятых наугад деталей 43 оказались бракованными. Найти относительную частоту бракованных деталей в данной партии.

Решение. Событие A – появление бракованной детали. Произведено испытаний, причём событие A наступило раза. Поэтому искомая относительная частота

Пример 1.4. В урне 2 белых, 3 зелёных и 5 красных шаров, не различимых на ощупь. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность, что он красный?

Решение. Число всех исходов опыта , число благоприятных исходов . Тогда искомая вероятность

Пример 1.5. В данном пособии 100 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 7?

Решение. Обозначим событие A={номер страницы кратен 7}. Из условия задачи следует, что пространство элементарных событий состоит из исходов. Из них благоприятствует событию A исходов, т.к. номер, кратный 7, имеет вид где – натуральное число . Поэтому искомая вероятность

Элементы комбинаторики

При вычислении вероятностей важную роль играют методы комбинаторики. Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчинённых определённым условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. Пусть требуется выполнить одно за другим k действий. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, второе – n₂ способами, третье – n₃ способами и так до k-го действия, которое можно выполнить n_k способами, то все k действий можно выполнить способами.

Рассмотрим опыт, состоящий в выборе наудачу одного за другим m шаров из n пронумерованных шаров, содержащихся в урне. Этот опыт будем называть выборкой с возвращением, если после каждого извлечения шар возвращается обратно и, следовательно, может участвовать в дальнейшем отборе. В противном случае мы имеем выборку без возвращения. Номера выбранных шаров образуют множество, состоящее из m натуральных чисел. Если важен порядок следования этих чисел в процессе отбора, то полученное множество называется упорядоченным. В противном случае – неупорядоченным.

1. Если из n пронумерованных шаров выбирают m с возвращением, то различных упорядоченных выборок будет n^m. Пример. Сколько различных пар чисел может быть, если игральную кость подбросили 2 раза (3 раза)?

2. Если осуществляется выбор без возвращения, то при этом упорядоченное множество называется размещением из n элементов по m, их число обозначают :

.

Пример. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если цифры в числе не повторяются? Повторяются?

При размещения называются перестановками. Их число обозначают :

Если при выборе без возвращения рассматривают неупорядоченные множества, то последние называются сочетаниями. Их число обозначают

Следует отметить свойства сочетаний: проверить свойства для n=4, m=3

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Пример 1.6. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 6 цифр. Как велика вероятность, что в нём:

а) все цифры различные;

б) все цифры нечётные?

Решение. а) На первом месте в шестизначном телефонном номере может стоять любая из цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а на всех остальных местах может стоять любая из этих же цифр или ноль. Поэтому всего шестизначных номеров . Число номеров, у которых все цифры различные, найдем с помощью размещений. При этом учтём, что первая цифра в шестизначном телефонном номере не может быть нулём:

б) Из 5 нечётных цифр (1, 3, 5, 7, 9) можно образовать различных шестизначных номеров. это число благоприятствующих исходов. Тогда искомая вероятность

Пример 1.7. В купе железнодорожного вагона один напротив другого стоят два дивана, на каждом из которых по пять мест. Из десяти пассажиров четверо желают сидеть лицом к электровозу, а трое – спиной к нему. Чему равна вероятность, что данные два пассажира, которым безразлично, где сидеть, окажутся рядом?

Решение. Сначала найдем число всех возможных размещений пассажиров в купе. Пусть A, B, C – пассажиры, которым безразлично, где сидеть. Если A сядет лицом к электровозу, то на диване вместе с ним еще четверо пассажиров могут сесть 5! Способами (перестановки из пяти элементов). Остальные пассажиры на противоположном диване также могут сесть 5! Способами. Таким образом, если A выбрал первый диван, то все пассажиры могут сесть (5!)² способами. Такое же число способов мы получим, если на первом диване будет не A, а B или C. Тогда число всех равновозможных исходов 3(5!)².

Благоприятствовать наступлению интересующего нас события будут исходы, когда данные два пассажира, например A и B, будут сидеть рядом. Это возможно, только если A и B сидят спиной к электровозу. Таких случаев будет . поэтому искомая вероятность

7. Французский естествоиспытатель XVIII в. Ж. Л. Бюффон при экспериментальной проверке закона больших чисел подбросил монету 4040 раз, в результате чего герб выпал 2048 раз. Найти относительную частоту выпадения герба в данном эксперименте.

8. Относительная частота родившихся мальчиков среди 2000 новорожденных равна 0,516. Сколько всего мальчиков?

9. Считая выпадение любой из граней игральной кости одинаково вероятным, найти вероятность выпадения грани: а) с чётным числом очков; б) с числом очков, кратным трём.

10. Слово АНАНАС разрезали на карточки, перевернули буквами вниз и перемешали. Карточки выбирают наугад по одной и выкладывают в ряд. Какова вероятность, что при этом получится слово АНАНАС?

11. Какова вероятность, что в марте наугад названного года окажется 4 воскресенья?

12. Из партии, в которой 32 детали без дефекта и 6 с дефектом, наудачу взяли 3 детали. Чему равны вероятности следующих событий: а) все 3 детали без дефекта; б) по крайней мере одна деталь без дефекта?

13. Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что: а) произведение выпавших очков окажется равным 12; б) сумма выпавших очков не меньше 7; в) произведение выпавших очков равно 12, а сумма равна 7?

Ответы 1.7. 0,5069. 1.8. 1.9. 1.10. 1.11. 0,5714. Указание среди первых 28 дней января всегда 4 воскресенья. следовательно в январе не будет больше воскресений, если их не будет 29, 30 и 31 числа. Последнее возможно, когда на число 29 выпадает понедельник, вторник, среда или четверг, p=4/7. 1.12. 1.13. 1/9. Остальное прорешать и поместить ответы в конце пособия.