1. Теоретические вопросы по дисциплине «Численные методы»

1. Метод половинного деления приближенного решения уравнений и его программирование.

2. Метод касательных приближенного решения уравнений и его программирование.

3. Метод хорд приближенного решения уравнений и его программирование.

4. Метод простых итераций приближенного решения систем линейных уравнений и его программирование.

5. Метод Зейделя приближенного решения систем линейных уравнений и его программирование.

6. Задача интерполяции функций. Интерполяционный многочлен Лагранжа и его программирование.

7. Формулы прямоугольников приближенного вычисления определенного интеграла и их программирование.

8. Формула трапеций приближенного вычисления определенного интеграла и ее программирование.

9. Метод Эйлера приближенного решения задачи Коши и его программирование.

10. Уточненный метод Эйлера приближенного решения задачи Коши и его программирование.

II. Практические вопросы по дисциплине: «Численные методы»

1. Отделите корни уравнений:

на промежутке (– 5; 5);

б) на промежутке (0; 10);

в) на промежутке (0; 10).

Ответы:

а) (– 3,3; – 3,2); (–0,4; – 0,3); (0,5; 0,6); (3; 3,1);

б) (0,5; 0,6); (3; 3,1); (6,2; 6,3); (9,4; 9,5);

в) (1,8; 1,9); (4,6; 4,7); (7,8; 7,9).

2. С помощью калькулятора методом половинного деления с точностью 0,001 уточните корни уравнений из задания 1.

Ответы:

а) –3,229; – 0,360; 0,570; 3,020;

б) 0,588; 3,096; 6,285; 9,424;

в) 1,863; 4,666; 7,870.

3. Составьте программу уточнения корня уравнения методом половинного деления. С помощью составленной программы уточните с точностью 0,001 корни уравнений из задания 1.

Ответы:

а) –3,22917; – 0,36009; 0,56960; 3,01966;

б) 0,58853; 3,09637; 6,28505; 9,42470;

в) 1,86304; 4,66645; 7,87012.

4. С помощью калькулятора методом хорд с точностью 0,001 уточните корни уравнений из задания 1.

5. Составьте программу уточнения корня уравнения методом хорд. С помощью составленной программы уточните с точностью 0,00001 корни уравнений из задания 1.

6. Преобразуйте следующие системы линейных уравнений к виду, пригодному для их численного решения методом простых итераций. Решите преобразованные системы названным методом с точностью 0,01. Вычисления выполните на калькуляторе.

; ; .

Ответы:

а) (2,00; 0,00; – 3,00);

б) (2,88; – 0,02; 4,59);

в) (– 3,08; 2,92; – 1,78).

7. Составьте программу приближенного решения систем линейных уравнений методом простых итераций. Решите системы из задания 6 с помощью составленной программы.

8. Решите преобразованные системы линейных уравнений из задания 6 методом Зейделя. Вычисления выполните на калькуляторе.

9. Составьте программу приближенного решения систем линейных уравнений методом Зейделя. Решите системы из задания 6 с помощью составленной программы.

10. Функция задана таблицей. Используя интерполяционный многочлен Лагранжа, вычислите ее приближенное значение в указанных точках. Вычисления выполните на калькуляторе с помощью расчетной таблицы.

а)	x	– 0,43	0,24	1,12	2,47	3,25	Вычислите f (1,63);
	y	1,63	2,15	2,93	2,65	2,18

б)	x	0,25	0,78	1,23	2,21	2,78	Вычислите f (2,56);
	y	3,56	2,78	2,05	1,24	1,48

в)	x	–1,24	–0,48	0,32	0,97	1,43	Вычислите f (0,63).
	y	1,24	1,59	2,37	2,08	1,25

Ответы:

а) 3,051;

б) 1,330;

в) 2,366.

11. Составьте программу приближенного вычисления значения функции с использованием интерполяционного многочлена Лагранжа. С помощью составленной программы вычислите на компьютере значения функций из задания 10.

12. Разбив промежуток интегрирования на 10 частей, вычислите приближенно интегралы по формулам прямоугольников.

; ; .

Ответы:

	Точно	Левые	Правые	Прямоугольники
а)		0,32074	0,37074	0,34699
б)	2	2,08	1,93	1,998
в)	0,5	0,58	0,43	0,498

13. Составьте программу приближенного вычисления определенного интеграла по формуле прямоугольников. Вычислите на компьютере с помощью составленной программы интегралы из задания 12, разбив промежуток интегрирования на 50 равных частей.

Ответ:

а) 0,34659;

б) 1,99993;

в) 0,49993.

14. Разбив промежуток интегрирования на 10 частей, вычислите приближенно интегралы из задания 12 по формуле трапеций.

Ответы:

а) 0,3457;

б) 2,003;

в) 0,504.

15. Составьте программу приближенного вычисления определенного интеграла по формуле трапеций. Вычислите на компьютере с помощью составленной программы интегралы из задания 12, разбив промежуток интегрирования на 50 равных частей.

Ответы:

а) 0,34654;

б) 2,0001;

в) 0,5001.

16. Решите приведенные ниже обыкновенные дифференциальные уравнения методом Эйлера для заданных промежутков с заданным шагом.

;

;

.

Ответы см. в конце задания.

17. Составьте программу решения обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера. Решите на компьютере с помощью составленной программы уравнения из задания 16.

18. Решите уравнения из задания 16 уточненным методом Эйлера.

19. Составьте программу решения обыкновенных дифференциальных уравнений уточненным методом Эйлера. Решите на компьютере с помощью составленной программы уравнения из задания 16.

Ответы к задачам 16 – 19:

Аналитические решения:

; ; .

Приближенные решения:

а)	x	Точно	Метод Эйлера	Уточненный
	2	1	1	1
	2,1	1,097725	1,1	1,097677
	2,2	1,191638	1,195671	1,191304
	2,3	1,282576	1,288036	1,282288
	2,4	1,371131	1,377793	1,370621
	2,5	1,457738	1,465442	1,457306
	2,6	1,542725	1,551355	1,542101
	2,7	1,626346	1,635815	1,625811
	2,8	1,708801	1,719042	1,708093
	2,9	1,790251	1,801212	1,789636
	3	1,870829	1,882467	1,870052

б)	x	Точно	Метод Эйлера	Уточненный
	0	2	2	2
	0,05	2,00025	2	2,000187
	0,1	2,002	2,00075	2,0015
	0,15	2,00675	2,003748	2,006186
	0,2	2,016	2,010488	2,014996
	0,25	2,03125	2,022455	2,030174
	0,3	2,054	2,041124	2,052476
	0,35	2,08575	2,067955	2,084134
	0,3	2,128	2,104391	2,125919
	0,45	2,18225	2,151859	2,18004
	15	2,25	2,211763	2,247296

в)	x	Точно	Метод Эйлера	Уточненный
	1	1,333333	1,333333	1,333333
	1,05	1,527927	1,516667	1,527548
	1,1	1,746837	1,721886	1,745846
	1,15	1,992952	1,951627	1,991385
	1,2	2,26944	2,208784	2,267074
	1,25	2,579753	2,496529	2,57659
	1,3	2,927643	2,818321	2,923469
	1,35	3,317178	3,17792	3,311965
	1,4	3,752747	3,579397	3,746281
	1,45	4,239078	4,027148	4,231308
	1,5	4,78125	4,525908	4,77196

Преподаватель: Л.А. Барон