Постановка задачи

З адача формулируется следующим образом: Рассчитать нестационарное одномерное температурное поле в неограниченной пластине толщиной L. Начальное распределение температуры задано. Нестационарное температурное поле формируется под воздействием граничных условий на левой ( ) и правой ( ) поверхностях пластины.

t_ср1 t_ср2

t₀

0 L

При такой постановке задачи уравнение теплопроводности имеет вид:

(1)

Граничные условия III – ого рода на левой поверхности пластины:

(2)

Граничные условия III – ого рода на правой поверхности пластины:

(2)

Задача дополняется начальным условием:

(3)

Дифференциальное уравнение (1) с граничными условиями (2) и начальными (3) однозначно формулирует поставленную задачу.

Приведение решаемой задачи к безразмерному виду

Размерные физические величин, входящие в задачу (1)-(3), можно объединить в безразмерные комплексы, причем так, что число комплексов будет меньше числа величин, входящих в задачу. Это упрощает исследование физических процессов. Кроме того, новые безразмерные переменные отражают влияние не только одиночных факторов, но и их совокупности, что позволяет облегчить определение физических связей в исследуемом процессе. Полученные результаты могут быть обобщены на другие явления, подобные данным.

Приведем к безразмерному виду задачу (1)-(3). Это может быть осуществлено различными способами. Воспользуемся широко известным, вследствие своей простоты и наглядности, приемом.

Введем безразмерную температуру , где определяющая температура, выбираемая из физических соображений, и – безразмерную координату. Тогда (1) запишется в виде:

или ,

где - число Фурье. С учетом этого выражения (1) преобразуется к безразмерному виду:

(1¹)

Аналогично приводим к безразмерному виду краевые условия (2)-(3):

Для граничных условий III-ого рода на левой поверхности пластины (Х=0):

или (2¹),

где - число Био.

Для граничных условий III-ого рода на правой поверхности пластины (Х=1):

или (2¹¹).

Начальное условие представляется в виде равенства:

(3¹)

Таким образом, краевая задача (1)-(3) сводится к виду (1¹)-(3¹) и решение последней осуществляется относительно неизвестной переменной Θ при двух независимых: X и Fo.

Метод конечных разностей

При решении задач с весьма общими краевыми условиями точными методами возникают большие трудности, которые становятся непреодолимыми при решении нелинейных дифференциальных уравнений. В этих случаях приходится использовать численные методы решения. Кроме того, использование численных методов позволяет отказаться от упрощенной трактовки математической модели процесса. Наиболее часто используемым является метод конечных разностей, или, как его еще называют, метод сеток.

Метод конечных разностей основан на замене производных, входящих в уравнение поставленной задачи, их приближенными значениями, выраженные через разности значений функции в дискретных точках-узлах сетки. Дифференциальное уравнение в результате таких преобразований заменяется эквивалентным соотношением в конечных разностях.

Рассмотрим конечно-разностные аналоги для частных производных первого и второго порядка.

Произведем замену левой части уравнения (1¹) следующим образом:

(4),

где ΔFo – приращение по временной координате Fo; j=1,…,M– моменты времени, в которые требуется определить неизвестную температуру Θ.

Вторая производная температуры Θ по безразмерной координате Х может быть представлена в двух вариантах:

(5),

либо

(6).

Здесь ΔХ – шаг по пространственной координате Х; I=1,…,N – координаты узлов по толщине пластины.

Методика решения дифференциального уравнения (4)-(5) называется явной, т. к. выражает значение Θ в момент времени j через значение в момент времени (j-1) в явном виде.

Несмотря на простоту вычислений, явная схема имеет существенный недостаток, связанный с необходимостью определения условия устойчивости

(7)

т. е. шаг по неизвестным переменным ΔХ и ΔFo не может быть выбран произвольным образом, а только согласно условию (7).

Например, при увеличении числа пространственных узлов N в 4 раза, требуется увеличить число шагов по времени в 16 раз. В ряде случаев это приводит к неприемлемым затратам машинного времени. Кроме того, при большом числе временных шагов может возникнуть погрешность округления.

От этого недостатка свободны неявные схемы (4), (6), в которых для определения неизвестной функции Θ требуется решать систему N линейных алгебраических уравнений на каждом временном шаге. Неявные схемы, безусловно, устойчивы, т. е. явление неустойчивости не возникает при любых величинах шага ΔFo, и его величина определяется только соображениями обеспечения требуемой погрешности численного решения.