3.10. Диференціювання функції багатьох змінних (градієнт функціі f (X) )

Розглянемо операцію диференціювання функції багатьох змінних f (x₁,x₂ ... x_n), коли змінні задано у формі матриці-рядка, або, що те саме, вектора, тобто X = (x₁, x₂ ... x_n . Тоді можна коротко записати f (x) = (x₁, x₂ ... x_n .

Означення 3.25. Градієнтом функції f(x) (позначається: ) називається вектор, який складається з частинних похідних функції f (x) за x₁, x₂ ... x_n:

(3.61)

Нехай потрібно визначити градієнт функції , коли і .

Тоді

.

Отже, градієнт функції

. (3.62)

Узявши до уваги, що , градієнт можна визначити як

. (3.63)

Далі розглянемо функцію , де A = (a_ij) — симетрична матриця порядку n і — n-вимірна матриця-стовпець. Функцію такого типу визначають як квадратичну форму (див.підрозділ. 3.9).

Визначимо градієнт квадратичної форми. Для цього подамо як скалярний добуток:

(3.64)

.

Знайдемо компоненти вектора-градієнта.

Перший компонент

.

другий компонент:

n-й компонент:

Отже, градієнт від квадратичної форми має вигляд

(3.65)

Отже, скорочено

(3.66)

3.11. Короткі висновки

1. Матрицею називається таблиця чисел, яка складається з m рядків і n стовпців:

2. Кількість рядків і стовпців матриці визначає її розміпр m × n.

3. Якщо , то матриця — прямокутна; якщо m = n — матриця квадратна порядку n (або m ).

4. Якщо матриця має один стовпець або рядок, то її називають відповідно: матрицею-стовпцем або матрицею-рядком. Загалом такі матриці називають векторами, а саме:

5. Якщо матриця А має всі нульові елементи, то вона є нульовою:

6. Квадратна матриця, усі елементи якої, крім елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональною:

7. Якщо в діагональній матриці по головній діагоналі стоять одиниці, а саме

то така матриця називається одиничною n-го порядку.

8. Якщо в матриці поміняти місцями елементи рядків на відповідні елементи стовпців (або навпаки), то дістанемо транспоновану матрицю

9. Квадратна матриця А називається симетричною, якщо .

10. Додавання і віднімання виконується тільки для матриць одного й того самого порядку. Якщо і мають однаковий порядок, то матриця суми (різниці) .

11. Матриця будь-якого порядку А може бути помножена на скаляр :

При множенні матриці А на скаляр виконуються такі закони:

а)

б)

в)

г)

д)

12. Дві матриці А і В можна помножити одна на одну, якщо кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої матриці. Кожний елемент матриці-добутку С = АВ є сумою добутків відповідних елементів і-го рядка на відповідні елементи j-го стовпця:

13. При множенні матриць справджуються такі закони:

а) ;

б) (АВ)С = А(ВС);

в) (А + В)С = АС + ВС;

г) С(А + В) = СА + СВ;

д)

е) АE = EA = A;

є)

14. Добуток матриці на дає скаляр

Якщо вектор , то

і

15. Квадратна матриця, що задовольняє умову , називається ідемпотентною.

16. Кожна матриця має скалярну характеристику — ранг матриці. Рангом називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів-стовпців (рядків) матриці А. Існує й інше означення: найвищий порядок мінора матриці А, який відрізняється від нуля:

m, n – кількість відповідно рядків і стовпців матриці А.

17. Якщо rgA = min(m,n), то матриця А має повний ранг. Для рангу виконуються такі співвідношення:

а) rgA = rg ;

б) rg A = rgA;

в) rgAB min(rgA, rgB).

г) rg = n .

18. Для квадратної матриці існують також скалярні характеристики: слід матриці і її визначник (детермінант).

Слідом матриці розмірности (n × n) є сума елементів, що містяться на її головній діагоналі, тобто

Для сліду виконуються такі співвідношення:

а)

б) (А і В — матриці однакового порядку);

в) tr(AB) = tr(BA);

г) (коли А — симетрична);

д)

19. Детермінантом (визначником) квадратної матриці А n-го порядку називається алгебраїчна сума членів, кожний з яких містить n спів­множників, узятих по одному і лише по одному з кожного рядка (стовпця) визначника. Позначається:

det A або .

20. Визначник (n – 1)-го порядку, в якому викреслені і-й рядок і j-й стовпець, називається мінором елемента і позначається .

21. Мінор , який береться зі знаком , де і — номер рядка, j — номер стовпця елементa , називається алгебраїчним доповненням цього елемента, а саме:

22. Визначник дорівнює сумі попарних добутків елементів будь-якого стовпця (рядка) на їх відповідні алгебраїчні доповнення:

23. Квадратна матриця, для якої , називається невиродженою. Кожна невироджена матриця має єдину обернену матрицю, для якої виконується:

Обернена матриця знаходиться з виразу

де J — приєднaна матриця.

24. Основні властивості оберненої матриці:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

25. Матриця, для якої , називається ортогональною.

26. Матриці, в яких елементами є окремі підматриці, називаються блоковими:

Розбиваючи матрицю на підматриці, слід додержувати таких правил:

— підматриці, що стоять поруч  –  і  –  — повинні мати однакову кількість рядків;

— підматриці, які стоять одна під одною  –  і  –  — повинні мати однакову кількість стовпців.

27. При додаванні (відніманні) блокових матриць, має насамперед виконуватись умова, що порядок відповідних матриць-доданків однаковий.

При множенні двох блокових матриць кількість стовпців першої матриці має дорівнювати кількості рядків другої матриці. З блоковими матрицями операцію множення виконують за тими самими правилами, що й зі звичайними матрицями.

28. Кронеккеровий добуток двох матриць

де ; .

Якщо матриця блокова, то .

29. Обернену блокову матрицю знаходимо за формулою Фробеніуса:

, (3.27)

де ;

30. Детермінант блокової матриці А

31. Система лінійних рівнянь в матричному вигляді записується АХ = В, дe

Якщо А — невироджена матриця, то розв’язок системи АХ = В знаходиться як

.

32. Система лінійних рівнянь АХ = 0, називається однорідною. Вона має нетривіальні розв’язки, якщо . Система рівнянь має нетривіальний розв’язок, якщо Останнє рівняння називають характеристичним рівнянням матриці А.

33. Корені рівняння є характеристичними коренями (характеристичними числами, власними значеннями) матриці А.

34. Вектори X_k, які є розв’язком системи для відповідного характеристичного кореня , називаються власними векторами матриці А. Добуток

де Х — матриця власних векторів А;

— характеристичні корені матриці А.

35. Квадратична форма від n невідомих записується у вигляді:

У векторно-матричному запису квадратичну форму можна подати так:

,

де , А — симетрична матриця.

36. Якщо d — випадковий вектор, для якого виконується: , то — називається випадковою квадратичною формою. Для випадкової квадратичної форми

37. Якщо — симетрична матриця, то слід матриці А є сумою її власних значень:

Усі власні значення ідемпотентної матриці А дорівнююють або нулю, або одиниці. Матриця є ідемпотентна, причому ранг її дорівнює 1.

38. Градієнтом функції f (x), коли x = (x₁, x₂ ... x_n) є вектор

.

39. Якщо функція , то градієнт її

.

40. Градієнт квадратичної форми дорівнює .