Лекция 7. Критерий “ожидаемое значение - дисперсия”.

Критерий ожидаемого значения является подходящим в основном для часто повторяющихся ситуаций. Тот же самый критерий можно модифицировать так, чтобы применить его и для редко повторяющихся ситуаций.

Если z - случайная величина с дисперсией D(z), то выборочное среднее имеет дисперсию D(z)/n, где n - объем выборки. Следовательно, если D(z) уменьшается, дисперсия также уменьшается, и вероятность того, что близко к М(z), увеличивается. Это показывает целесообразность введения критерия, в котором максимизация ожидаемого значения прибыли сочетается с минимизацией ее дисперсии. Возможным критерием, отвечающим этой цели, является максимум выражения

М(z)- K var{z}, (1)

где z - случайная величина, представляющая прибыль,

var{z}- ее дисперсия,

K - заданная постоянная.

Эту постоянную иногда интерпретируют как уровень несклонности к риску. K определяет степень важности дисперсии z по отношению к М(z). Например, предприниматель, особенно остро реагирующий на большие отрицательные отклонения прибыли вниз от М(z), может выбрать К много больше единицы. Это придает вес дисперсии и приводит к решению, уменьшающему вероятность больших потерь прибыли.

Введенный критерий согласуется с использованием полезности при принятии решений, так как параметр несклонности к риску К характеризует отношение лица, принимающего решение, к большим отклонениям от ожидаемых значений. Этому можно дать математическое обоснование и, используя разложение в ряд Тейлора ожидаемого значения функции полезности, показать, что первые три члена этого разложения дают критерий, подобный (1).

Пример.

Применим критерий “ожидаемое значение - дисперсия” к примеру, рассмотренному на предыдущей лекции, о принятии решений о том, когда следует проводить плановый ремонт какого-нибудь станка (или другого вида оборудования), чтобы минимизировать потери из-за неисправности (отказа).

Для этого необходимо вычислить дисперсию затрат за один интервал:

Используя данные из предыдущей лекции, составим таблицу:

Т	pТ				МС(Т)+ var{CT}
1	0,05	0,0025	0	0	500
2	0,07	0,0049	0,05	0,0025	6312,50
3	0,10	0,0100	0,12	0,0074	6622,22
4	0,13	0,0169	0,22	0,0174	6731,25
5	0,18	0,0324	0,35	0,0343	6764,00

Из таблицы видно, что профилактический ремонт следует проводить в течение каждого интервала времени (Т*=1).

Лекция 8. Критерий предельного уровня.

Критерий оптимального уровня не дает оптимального решения, максимизирующего, например, прибыль или минимизирующего затраты. Он соответствует определению приемлемого способа действий.

Пример. Пусть величина спроса х в единицу времени (интенсивность спроса) на некоторый товар задается непрерывной функцией распределения f(x). Если запасы в начальный момент невелики, в дальнейшем возможен дефицит товара. В противном случае к концу рассматриваемого периода запасы нереализованного товара могут оказаться очень большими. В обоих случаях неизбежны потери. В первом случае уменьшается потенциальная прибыль и наблюдается потеря клиентов; во втором случае увеличиваются издержки, связанные с потреблением товара, и затраты на складирование.

Возможный компромисс состоит в выборе решения, балансирующего два вида указанных потерь. Так как определить потери от дефицита очень трудно, лицо, принимающее решение, может установить необходимый уровень запасов таким образом, чтобы величина ожидаемого дефицита не превышала А₁ единиц, а величина ожидаемых излишков не превышала А₂ единиц. Выразим математически эти условия.

Обозначим через I – определяемый уровень запасов. Тогда

При произвольном выборе А₁ и А₂ указанные условия могут оказаться противоречивыми. В этом случае необходимо ослабить одно из ограничений, чтобы обеспечить допустимость.

Значение I должно находиться между 10 и 20, так как именно в этих пределах изменяется спрос. Приведенная таблица показывает, что оба условия выполняются для значений I, принадлежащих интервалу [13, 17]

I	ln I – I/20	ln I – I/10
10	1.8	1.3
11	1.84	1.29
12	1.88	1.28
13	1.91	1.26
14	1.94	1.24
15	1.96	1.21
16	1.97	1.17
17	1.98	1.13
18	1.99	1.09
19	1.99	1.04
20	1.99	0.99