1.2. Линейный закон фильтрации Дарси. Коэффициенты проницаемости и фильтрации

Закон фильтрации Дарси устанавливает линейную зависимость между объемным расходом несжимаемой жидкости и потерей напора, приходящейся на единицу длины, и имеет вид:

.

(1.11)

где и – полные напоры в начальном и конечном сечениях образца пористой среды (скоростные напоры отброшены вследствие их малости); l – длина образца; ω – площадь поперечного сечения; k_ф – коэффициент фильтрации, зависящий как от свойств пористой среды, так и от свойств фильтрующейся жидкости.

Учитывая, что – гидравлический уклон, можно записать так:

.

(1.12)

Деля обе части последнего равенства на ω, получим:

.

(1.13)

Способность пористой среды пропускать сквозь себя жидкости и газы называется проницаемостью. Это свойство характеризуется коэффициентом проницаемости k. В отличие от коэффициента фильтрации k_ф коэффициент проницаемости k зависит только от свойств пористой среды.

При решении задач подземной гидравлики удобнее записывать закон Дарси, пользуясь коэффициентом проницаемости:

,

(1.14)

или, поделив на ω, получаем скорость фильтрации:

.

(1.15)

Коэффициенты проницаемости и фильтрации связаны соотношением:

.

(1.16)

Коэффициент проницаемости имеет размерность площади (м²), а коэффициент фильтрации – размерность скорости (м/с).

На практике проницаемость нефтяных и газовых пластов измеряется единицами, называемые дарси (Д). За единицу проницаемости 1 Д принимают проницаемость такой пористой среды, при фильтрации через образец которой площадь 1 см², длиной 1 см при перепаде давления в 1 кгс/см² (98000 Па) расход жидкости вязкостью 1 сП (1 мПа·с) составляет 1 см³/с. Величина равная 0,001 Д, называется миллидарси (мД).

1 Д = 1,02∙10^-8 = 1,02∙10^-12 м²

Проницаемость реальных пластов изменяется от нескольких миллидарси до нескольких дарси.

1.3. Практические задания к первому разделу

Задача № 1

Определить пористость ячейки фиктивного грунта (по Слихтеру) в случае, когда угол грани ромбоэдра θ=90° (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Ромбоэдр с углом грани θ=90°

Ответ: m=47.6 %.

Задача № 2

Показать, что пористость m и просветность n фиктивного грунта не зависят от диаметра частиц, слагающих грунт. Рассмотреть случай, когда угол грани ромбоэдра θ=90° (рис. 1.3).

Решение:

Рассмотрим основную ячейку фиктивного грунта по Слихтеру. Пористость этого элемента

,

откуда следует, что пористость m не зависит от диаметра.

Аналогично для просветности

.

Задача № 3

Определить удельную поверхность песка (поверхности песчинок, заключенных в 1 м³ песчаного пласта), пористость которого m=25 % и эффективный диаметр песчинок =0,2 мм. Найти также число частиц в единице объема пласта, принимая их форму сферической.

Решение:

,

.

Ответ: =2,25·10⁴ м²;

=1,79·10¹¹. 

Задача № 4

Определить удельную поверхность песка (по Слихтеру) при наиболее плотной укладке шаровых частиц, соответствующей значению острого угла грани θ=60°.

Ответ: m=25,9 %.

Задача № 5

Построить кривую механического состава грунта и определить эффективный диаметр грунта по способу Газена, используя следующие данные.

Диаметр частиц, мм	0-0,05	0,05-0,1	0,1-0,2	0,2-0,3	0,3-0,5	0,5-1
∆gi,вес %	1,5	5,3	7,2	40,1	35,7	10,2

Ответ: d_э=0,11 мм.

Задача № 6

Определить эффективный диаметр d_э по способу Крюгера – Цункера для песчинок следующего механического состава:

Диаметр частиц, мм	0-0,05	0,05-0,1	0,1-0,2	0,2-0,3	0,3-0,5	0,5-1
∆gi,вес %	6,9	38,6	44,2	6,3	3,3	0,7

Ответ: d_э=0,09 мм.

Задача № 7

Определить коэффициент проницаемости пористой среды (в дарси), если известно, что коэффициент фильтрации k_ф=0,3∙10^-4 см/с, а кинематический коэффициент вязкости фильтрующейся жидкости ѵ=10^-6 м²/с. Фильтрация жидкости происходит по закону Дарси.

Ответ: m=30 мД.

Задача № 8

Определить коэффициент фильтрации, если известно, что площадь поперечного сечения образца песчаника ω=30 см², длина образца l=15 см, разность давлений на входе жидкости в образец и на выходе ∆p=19,6 кПа (0,2 кгс/см²), плотность жидкости ρ=1000 кг/м³ и расход равен 5 л/ч.

Ответ: k_ф=3,47∙10^-3 см/с.

Задача № 9

Определить скорость фильтрации и среднюю скорость движения нефти у стенки гидродинамически совершенной скважины и на расстоянии r=75 м, если известно, что мощность пласта h=10, коэффициент пористости m=12 %, радиус скважины r_c=0.1 м, массовый дебит скважины Q_m=50 т/сут и плотность нефти ρ=850 кг/м³.

Ответ: ω_c=1,09∙10^-4 м/с;

ѵ_c=0,91∙10^-3 м/с;

ω=1,45х10^-7 м/с;

ѵ=1,21∙10^-6 м/с.

Задача № 10

Определить объемный дебит Q_c и скорость фильтрации газа ω_c у стенки гидродинамически совершенной скважины, если известно, что приведенный к атмосферному давлению и пластовой температуре объемный дебит газа Q_ат=10⁶ м³/сут, Радиус скважины r_c=0,1 м, мощность пласта h=20 м, абсолютное давление газа на забое p_c=4,9 МПа (50 кгс/см²).

Ответ: Q_c=0,239 м³/с;

ω=0,019 м/с.

Задача № 11

Определить коэффициент пористости, зная, что скорость движения через образец, определяемая при помощи индикатора, равна ѵ=3∙10^-2 см/с, коэффициент проницаемости m=0,2 Д, вязкость жидкости μ=4 мПа∙с и разность давлений ∆p=2 кгс/см² при длине образца l=15 см.

Ответ: m=22 %.

Задача № 12

Определить среднее значение скорости фильтрации у входа жидкости в гидродинамически несовершенную по степени вскрытия скважину, если мощность пласта h=25 м, относительное вскрытие пласта =0,6, радиус скважины r_c=0,1 м, дебит жидкости Q=250 м³/сут.

Ответ: ω=0,0308 см/с.

Задача № 13

Определить коэффициенты проницаемости фильтрации для цилиндрического образца пористой среды диаметром d=5 см, длиной l=20 см, если разность давлений на концах образца составляет 300 мм.рт.ст, расход жидкости Q=1,70 л/ч, динамический коэффициент вязкости жидкости μ=5 мПа∙с, плотность ее ρ=0,85 г/см³. Найти также скорость фильтрации.

Ответ: k=5,9 Д;

c=10^-3 см/с;

ω=0,024 см/с.

Задача № 14

Определить скорость фильтрации среднюю скорость движения при плоскорадиальной фильтрации газа к скважине в точке на расстоянии r=150 м от центра скважины, если давление в этой точке равно p=7,84 МПа (80 кгс/см²), мощность пласта h=12 м, пористость его m=20 %, а приведенный к атмосферному давлению и пластовой температуре дебит Q_ат=2∙10⁶ м³/сут, p_ат=0,1 МПа.

Ответ: ω=0,262∙10^-4м/с;

ѵ=1,31∙10^-4 м/с.