3. Функція розподілу випадкової величини

Функцією розподілу³ випадкової величини називають функцію , яка визначає ймовірність того, що випадкова величина в результаті випробування прийме значення менше, ніж , тобто

, . (3)

Із означення функції розподілу випливають такі її властивості:

1) , ;

2) неспадна на всій числовій осі функція, тобто якщо , то для будь-яких ;

3) , ;

4) якщо всі можливі значення випадкової величини належать відрізку , то для всіх і для всіх .

5) функція розподілу неперервна зліва:

.

Якщо – дискретна випадкова величина, можливі значення якої прону­ме­ровані в порядку їх зростання, то її функція розподілу визначається рівністю:

, (4)

де підсумовування поширюється на всі ті значення індексу , для яких . Функція розподілу дискретної випадкової величини стала на проміжках , , , , , а в точках має стрибок, рівний ймовірності , з якою величина приймає значення ( ).

За допомогою функції розподілу визначається ймовірність потрапляння випадкової величини в заданий інтервал :

. (5)

Іншими словами, ймовірність того, що випадкова величина прийме значення з інтервалу (a;b), дорівнює приросту функції розподілу на цьому інтервалі.

Приклад 2. Дискретна випадкова величина задана законом розподілу:

	1	3	6	9
	0,2	0,4	0,3	0,1

Знайти функцію розподілу та побудувати її графік.

Розв’язання. Якщо , то , оскільки значень менших 1, випад­кова величина не приймає.

Нехай . Тоді , оскільки 1 – це єдине можливе значення, яке менше від і яке випадкова величина приймає з ймовірністю 0,2.

Якщо , то подія відбувається тоді і тільки тоді, коли або , або , тому (за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій).

Якщо , то за аналогією із попереднім випадком

.

Нарешті, якщо , то подія ‑ достовірна, і .

Отже, функція розподілу має такий вигляд:

а її графік зображено на рис. 4.

Рис. 4. Графік функції розподілу.

4. Щільність розподілу ймовірності неперервної випадкової величини

Неперервну випадкову величину також можна задати за допо­могою щільності розподілу.

Щільністю розподілу ймовірності неперервної випадкової величини називають функцію , яка є похідною від функції розподілу ⁴, тобто

. (6)

Внаслідок цього функцію розподілу можна виразити інтегралом від до від щільності розподілу:

. (7)

Ймовірність потрапляння неперервної випадкової величини в інтервал обчислюється за щільністю розподілу за формулою:

. (8)

Користуючись геометричним змістом означеного інтегра­лу, формулі (8) можна дати таку інтерпретацію: ймовірність того, що неперервна випадкова ве­ли­чина прийме значення з інтервалу рівна площі криволінійної тра­пе­ції, обмеженої віссю абсцис, прямими і та функцією (рис. 5).

Рис. 5.

Властивості щільності розподілу:

1) на всій числовій осі щільність розподілу невід’ємна функція, тобто для ;

2) невласний інтеграл від щільності розподілу в межах від до дорівнює одиниці:

. (9)

Співвідношення (9) називається умовою нормування щільності розподілу ймовірностей неперервної випад­кової величини.

Приклад 3. Випадкова величина Х задана щільністю розподілу ймовір­ностей:

Потрібно знайти: а) сталу С; б) функцію розподілу F(x);

в) ймовірність події .

Розв’язання. а) Сталу знаходимо з умови нормування щільності розподілу: . Маємо

.

Таким чином, , і щільність розподілу має вигляд:

б) Закон розподілу неперервно розподіленої випадкової величини знаходимо із співвідношення: , де – щільність розподілу. Маємо:

для : ;

для : ;

для : .

Таким чином,

в) Знайдемо ймовірність того, що :

.