Задание 7
Пример: Наблюдения за случайной величиной X дали следующие результаты:
-
3,86
4,04
3,65
3,97
3,76
3,61
3,95
4,04
3,84
3,94
3,98
3,61
3,87
4,04
3,99
3,69
3,76
3,71
3,94
3,82
4,16
3,76
4,00
3,45
4,08
3,88
4,01
3,93
3,71
3,81
4,02
4,17
3,72
4,09
3,78
4,02
3,73
3,52
3,89
3,92
4,18
4,26
4,03
4,14
3,72
4,35
3,82
4,03
3,62
3,91
а) Построить по этим данным интервальный вариационный ряд и изобразить его графически, найти эмпирическую функцию распределения.
б) Определить несмещенные оценки для математического ожидания и дисперсии случайной величины Х.
в) По критерию χ2 (Пирсона) проверить гипотезу о том, что случайная величина Х имеет нормальный закон распределения.
г) Найти интервальные оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения случайной величины Х с уровнем доверия γ=0,99.
Решение: а) Для построения вариационного ряда составим таблицу 2, в первом столбце которой расположим в порядке возрастания частичные интервалы равной длины (первый интервал 3,45–3,60, второй 3,60–3,75 и т.д.), а во втором напишем найденные путем подсчета соответствующие частоты для каждого интервала:
Таблица 2
Частичный интервал |
Сумма частот вариант частичного интервала, ni |
Частичный интервал |
Сумма частот вариант частичного интервала, ni |
3,45–3,60 3,60–3,75 3,75–3,90 3,90–4,05 |
2 10 12 18 |
4,05–4,20 4,20–4,35 |
6 2 |
Сумма |
50 |
Графически данный ряд можно изобразить в виде гистограммы частот (рис. 1).
Найдем эмпирическую
функцию распределения. Объем выборки
n = 50.
Наименьшая варианта равна 3,45, поэтому
при
.
Значение случайной
величиной X,
меньшее 3,60, наблюдалось два раза,
следовательно,
при
.
Значение X,
меньшее 3,75, наблюдалось 2+10=12 раз;
следовательно,
при
.
Для значений X, меньших 3,90; 4,05; 4,20 и 4,35, функция F(x) находится аналогично.
Поскольку значение
X,
равное 4,35 – наибольшая варианта, то
при
.
Рис. 1.
б) Несмещенную оценку для математического ожидания (среднего арифметического взвешенного) найдем по формуле
где k – количество вариант.
При вычислении математического ожидания и дисперсии случайной величины Х в качестве вариант будем принимать середины интервалов. Тогда
Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой
Тогда
Следовательно,
Несмещенной оценкой для дисперсии служит исправленная дисперсия:
в) Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону
где
и
.