1.2 Примеры решения задач

Пример 1

Камень брошен с вышки в горизонтальном направлении со скоростью v₀ =30 м/с. Определить скорость, тангенциальное и нормальное ускорения камня через две секунды.

Решение

v_o

=

х

g

V

Рис.1.1

Скорость камня v через время t = 2 с направлена по касательной к траектории движения (рис.1. 1) и равна = _x+ _y

Её модуль .

Если не учитывать сопротивление воздуха, то

, a

тогда

V = = =

= 36 м/с.

Из рис. 1.1 очевидно, что + -полное ускорение камня. Тогда:

= g cos = g = = 5,5 м/с²;

a_n = g∙sin = g = = 8,3 м/с²

Ответ: v=36 м/с; = 5,5 м/с ; a_{n =} 8,3 м/с.

Пример 2

К концам однородного стержня длиной L = 10cm (рис.2) приложены силы .F₁ =10 Н и F₂ =30 Н. Определить силу натяжения стержня на расстоянии х = 2 см от его левого конца.

Решение

Массы левой и правой частей стержня . равны: т₁ = х и т₂ = (L-х),

где - линейная плотность стержня.

L На каждую часть стержня, кроме данных

сил F₁ и F_2, действуют силы натяжения Т,

Рис.1.2 приложенные, как показано на рис.1. 2.

Запишем 2-й закон Ньютона для левой и правой частей стержня:

am_l = T - F₁

am₂ = F₂ – T (1)

Подставляя в (1) значения масс т₁ и m₂ , получаем:

а х = Т - F_l

а (L - х) = F₂ – Т (2)

Деление уравнений системы дает:

Откуда: Т= =

Ответ: T=14Н.

Пример 3

По гладкому горизонтальному столу скользит тело массой т₁= 1 кг со скоростью v₁ = 4 м/с. Пуля массой т₂ =10 г, летевшая горизонтально перпендикулярно телу (рис.1. 3) со скоростью v₂ = 300 м/с, застревает в теле. Определить скорость тела после попадания в него пули и количество выделившегося тепла.

Решение

y На основании закона сохранения импульса:

m₁v₁+ m₂ v₂ = = const.

Из рис.1.3 видно, что

+

v₁ x Учитывая, что импульс тела после

Рис1. 3 столкновения с пулей равен:

Р = (m₁+m₂)v,

где v - скорость тела после столкновения, получаем:

(m₁+m₂)²v² = (m_Iv₁)² + (m₂v₂)²

Откуда:

v = м\с

Выделившееся тепло определяем из закона сохранения энергии:

+ = Q +

Откуда: Q = + -

Q = 1* +0,01* -(1+0,01)4,95²)

Ответ: м\с; Q = 446 Дж.

Пример 4

Определить ускорение грузов, изображенных на рис.1. 4. Блок считать однородным диском массы т. Трение не учитывать.

/////////////////

R

a Т₁

T₂ a

m₁g

m₂g

Решение

На грузы и блок действуют силы тяжести m₁g, m₂g и силы

натяжения нитей T₁ и Т₂, как показано на рис. 4.

Запишем для грузов 2-й закон Ньютона, а для блока - уравнение вращательного движения.

(3)

аm₁ = m₁g,-T₁

аm₂ =Т₂ — m₂g,

где I = mR² /2 - момент инерции блока;

Рис.1.4 = ajR- угловое ускорение блока;

М₁ = T₁R и М₂ = T₂R - моменты сил натяжения относительно оси блока.

и направлены в противоположные стороны вдоль оси блока.

Решение системы (3) дает: а= .

Пример 5

C₂

Найти момент инерции системы, состоящей из двух дисков, изображенной на рис.1.5, и вращающейся относительно оси "О". Массы дисков m и 2т, радиусы - R и 2R, соответственн.

Решение

C111111

Момент инерции I системы тел равен

сумме моментов инерции каждого тела

I = I₁+ I₂ (4)

Моменты инерции каждого диска найдём. используя теорему Штейнера:

Рис.1.5 I₁ = + mR² = -mR ;

I₂ = + 2m (4R)² = 4mR² + 32mR² = З6mR²

Из (4) следует: I = mR² + 36mR² = 37,5mR².

Ответ: I = 37,5m/?.

Пример 6.

Горизонтальная платформа массы М и радиуса R вращается с угловой скоростью . С какой угловой скоростью , будет вращаться платформа, если человек перейдет от края в центр платформы? Какая работа будет при этом совершена человеком?