2.1. Уравнения движения газа и методы их решения

Рассматривая движение газа в газодинамической постановке, возьмем уравнение ассиметричного движения газа, которые, как известно, имеют вид:

уравнения движения

(2.1)

(2.2)

уравнение неразрывности:

(2.3)

или (2.4)

где U-компон. скор. по оси х ; ν-компон. скор. по оси r(вдоль радиуса)

F_x и F_r – компоненты силы по соответствующим осям; ν-кинематич. и вязкость

Уравнение энергии, которое в общем случае

dQ=dE+pdw, где w=1/ρ-удельный объем.

Уравнение состояния

ψ(p,ρ,T)=0

Кроме того должна быть известна зависимость Е=Е(ρ,р,Т), где Е-внутр. энергия газа.

Эти функции должны быть заданы в явном виде.

Решение этой системы требует большого объема вычислений.

Упростим эту систему. Будем использовать систему уравнений, описывающих одномерное неустановившееся движение идеального газа:

Ур. движения: ; (2.6)

Ур. неразрывности: (2.7)

Ур. энергии (2.8)

где S(x)-переменная площадь канала.

Эти Ур-я должны решаться при соответствующих начальных и граничных условиях.

На неподв. ст. U=0. На поршне U=V_n, причем ур-е движения поршня:

(2.9), где S- площадь сечения ствола, р_л и р_п- давл. на канал ствола.

Иногда бывает удобнее вместо используемых функции U, р,ρ вводить в рассмотрение функции U, а, Ф, где а-скорость звука в газе, а Ф-функция энтропии.

В этом случае уравнение имеет вид.

(2.10)

Ф=Ф₀ е^{к(к-1)∫dQ/a2}

Обратимся к краткому обзору методов решения полученных уравнений.

2.2 Точное аналитическое решение.

Точное аналитическое решение уравнений одномерного движения удается получить для случая простой волны. В задаче Лагранжа такое положение осуществляется в обл.I, когда газ идеальный, а труба имеет постоянное сечение.

Система уравнений (2.13) в этом случае имеет вид

Ф= Ф₀=const

скорость тела в области простой волны

координаты тела

В этих формулах а₀-начальная скорость звука, m-масса тела, р₀-начальное давление, S-площадь трубы

Формулы для скорости и координаты нетрудно привести к безразмерному виду, введя в рассмотрение безразмерное время и массу метающего газа

После элементарных выкладок следует :

(2.14)

(2.15)

Это решение справедливо только до точки х₁(рис.) для которой

(2.16) естественно здесь Q=0

Из приведенных формул следует, что решение задачи в случае простой волны зависит только от параметров П и К.

Следует обратить внимание на одно характерное обстоятельство. В приделе при П→∞ решение простой волны справедливо для всей трубы, и из (2.14) следует, что в этом случае

При к=1,4 V_пред=5а₀ , т.е. очень легкий снаряд может быть разогнан до скорости в 2/(к-1) раз превышающей скорость звука. Классическая баллистика для этого случая дает предельную скорость (η=1, к=1,4)

(b₁=1/3) отличие составляет ~1,5 раза.