Тема 7. Модель оценки рискованных финансовых активов

Метод формирования оптимального инвестиционного портфеля состоит в том, что в соответствии с ним инвестору необходимо оценивать ожидаемые доходно:ти и дисперсии всех рассматриваемых ценных бумаг. Более того, должны быть оценены все ковариации этих ценных бумаг и определена безрисковая процентная ставка. И лишь после того, как все это проделано, инвестор может определить ожидаемую доходность и среднеквадратичное отклонение. На следующем этапе инвестор может перейти к определению оптимального портфеля, отмечая на графике те точки, где одна из кривых безразличия касается, но не пересекает эффективное множество. И так как эффективное множество представляет собой прямую, то оптимальный портфель включает инвестиции в “касательный” портфель (соответствующий точке, в которой прямая, исходящая из точки безрисковой ставки, касается эффективного множества Марковица), комбинированные с определенным количеством безрисковых вложений и кредитов.

Такой подход к процессу капиталовложений, носящий предписательный характер, может быть отнесен к проявлению нормативной экономической теории (normative economics), где инвесторам даются рекомендации, как и что делать. Настоящий раздел посвящен той области позитивной экономической теории (positive economics), где представлена описательная модель формирования цен. Помимо всего прочего, в этой модели предполагается, что все инвесторы при размещении своих капиталов используют описанные ранее методы. Наиболее важная черта этой модели заключается в том, что ожидаемая доходность актива увязывается со степенью рискованности этого актива, измеряемой коэффициентом, называемым “бета”. Точный характер этой зависимости показан в модели оценки финансовых активов (Capital Asset Pricing Model, САРМ), которая служит теоретической основой ряда различных методов, применяемых в инвестиционной практике. Хотя в основе многих из этих методов лежат расширенные и модифицированные версии САРМ, для их освоения необходимо глубокое понимание первоначальной версии САРМ.

Предположения модели

Для того чтобы понять, как складываются цены финансовых активов, необходимо сконструировать модель (или, что то же самое, построить теорию). Это требует упрощений, позволяющих создателю модели абстрагироваться от всей сложности ситуации и рассматривать только наиболее важные ее элементы. С этой целью формулируются определенные предположения об объекте исследования. Эти упрощающие предположения призваны обеспечить степень абстракции, позволяющую построить модель. Обоснованность этих предположений не имеет определяющего значения.

Некоторые из предположений, на которых основывается модель САРМ, совпадают с предположениями нормативного подхода к инвестированию, описанного в трех предыдущих главах. Это следующие предположения:

1. Инвесторы производят оценку инвестиционных портфелей, основываясь на ожидаемых доходностях и их стандартных отклонениях за период владения.

2. Инвесторы никогда не бывают пресыщенными. При выборе между двумя портфелями они предпочтут тот, который, при прочих равных условиях, дает наибольшую ожидаемую доходность.

3. Инвесторы не желают рисковать. При выборе между двумя портфелями они предпочтут тот, который, при прочих равных условиях, имеет наименьшее стандартное отклонение.

4. Частные активы бесконечно делимы. При желании инвестор может купить часть акции.

5. Существует безрисковая процентная ставка, по которой инвестор может дать взаймы (т.е. инвестировать) или взять в долг денежные средства.

6. Налоги и операционные издержки несущественны. Эти предположения дополняются следующими:

7. Для всех инвесторов период вложения одинаков.

8. Безрисковая процентная ставка одинакова для всех инвесторов.

9. Информация свободно и незамедлительно доступна для всех инвесторов.

10. Инвесторы имеют однородные ожидания (homogeneous expectations), т.е. они одинаково оценивают ожидаемые доходности, среднеквадратичные отклонения и ковариации доходностей ценных бумаг.

Как вытекает из этих предположений, в САРМ рассматривается предельный случай. Все инвесторы обладают одной и той же информацией и по-одинаковому оценивают перспективы ценных бумаг. Неявно это означает, что они одинаковым образом анализируют получаемую информацию. Рынки ценных бумаг являются совершенными рынками (perfect markets) в том смысле, что в них нет факторов, которые бы препятствовали инвестициям. Такие потенциальные препятствия, как ограниченная делимость, налоги, операционные издержки, и различие между ставками безрискового заимствования и кредитования считаются отсутствующими. Это позволяет сместить фокус рассмотрения с того, как следует инвестору размещать свои средства, на то, что произойдет с курсами ценных бумаг, если все инвесторы будут поступать одинаково. Исследуя коллективное поведение всех инвесторов на рынке, можно выявить характер конечной равновесной зависимости между риском и доходностью каждой ценной бумаги.

Рыночная линия

Сначала инвесторы анализируют ценные бумаги и определяют структуру “касательного” портфеля. В итоге, в равновесном случае все инвесторы выбирают один и тот же “касательный” портфель. Оценки инвесторов относительно ожидаемых доходностей бумаг, их дисперсий и ковариаций, а также величины безрисковой процентной ставки полностью совпадают. К тому же линейное эффективное множество является одним и тем же для всех инвесторов, так как оно состоит из комбинаций согласованного “касательного” портфеля и безрискового заимствования или кредитования. В связи с тем, что все инвесторы имеют одно и то же эффективное множество, единственной причиной, по которой они предпочтут различные портфели, является то, что они характеризуются различными кривыми безразличия. Таким образом, различные инвесторы выбирают различные портфели из одного и того же эффективного множества, ввиду различного предпочтения ими риска и доходности.

Следует отметить, однако, что, хотя выбранные портфели будут различными, каждый инвестор выберет одну и ту же комбинацию рискованных бумаг, обозначенных на рисунках через Т. Это означает, что каждый инвестор распределит свои средства среди рискованных бумаг в одной и той же относительной пропорции, увеличивая безрисковое заимствование или кредитование с целью достижения предпочтительной для него комбинации риска и дохода. Это свойство САРМ часто называют теоремой разделения (separation theorem): оптимальная для инвестора комбинация рискованных активов не зависит от его предпочтений относительно риска и дохода.

Другими словами, оптимальная комбинация рискованных активов может быть определена без построения кривых безразличия каждого инвестора.

В САРМ каждый инвестор сталкивается с одним и тем же линейным эффектовным множеством. Это означает, что все будут инвестировать в один и тот же “касательный” портфель (в сочетании с определенным объемом безрискового заимствования и кредитования, который определяется кривой безразличия каждого инвестора). Из этого следует, что доля рискованных ценных бумаг в портфеле каждого инвестора будет одной и той же.

Рыночный портфель

Другим важным свойством САРМ является то, что в состоянии равновесия каждый вид ценных бумаг имеет ненулевую долю в “касательном” портфеле. Это означает, что в состоянии равновесия доля любой ценной бумаги в Т отлична от 0. Основанием этого свойства является теорема разделения, которая утверждает, что доля рискованных активов в портфеле каждого инвестора не зависит от предпочтения инвестора относительно риска и доходности. Эта теорема основывается на том, что рискованная доля портфеля каждого инвестора представляет собой просто инвестирование в Т. Если каждый инвестор приобретает T и при этом T не включает в себя инвестиций в каждый вид бумаг, то получается, что никто не инвестировал в те бумаги, которые имели нулевую долю в Т. Это должно привести к тому, что курсы ценных бумаг с нулевой долей в Т упадут, вызвав рост их ожидаемой доходности до тех пор, пока в “касательном” портфеле их доля станет отличной от 0.

Рыночный портфель – это портфель, состоящий из всех ценных бумаг, в котором доля каждой соответствует ее относительной рыночной стоимости. Относительная рыночная стоимость ценной бумаги равна ее совокупной рыночной стоимости, деленной на сумму совокупных рыночных стоимостей всех ценных бумаг.

Причина, по которой рыночный портфель занимает центральное место в САРМ, заключается в том, что эффективное множество состоит из инвестиций в рыночный портфель в совокупности с желаемым количеством безрискового заимствования или кредитования. Таким образом, вполне правомерно можно определить “касательный” портфель как рыночный и обозначить его через M вместо T. Теоретически, M состоит не только из обыкновенных акций, но и из других видов инвестиций, таких, как облигации, привилегированные акции и недвижимость. Однако на практике иногда под M понимают портфель, содержащий только обыкновенные акции.

Эффективное множество

В модели САРМ простым образом определяется связь между риском и доходностью эффективных портфелей. Это наглядно представлено на рисунке. Точка M обозначает рыночный портфель, а r_f представляет собой безрисковую ставку доходности. Эффективные портфели находятся вдоль прямой, пересекающей ось ординат в точке с координатами (0, r) и проходящей через M, и образуются альтернативными комбинациями риска и доходности, получаемыми в результате сочетания рыночного портфеля с безрисковым заимствованием или кредитованием. Это линейное эффективное множество САРМ известно под названием рыночная линия (Capital Market Line, CML). Все остальные портфели, не использующие рыночный портфель в комбинации с безрисковым заимствованием или кредитованием, будут лежать ниже рыночной прямой, хотя некоторые могут располагаться в непосредственной близости от нее.

Наклон CML равен разнице между ожидаемой доходностью рыночного портфеля и безрисковой бумаги ( ), деленной на разницу их рисков ( ) или . Так как CML пересекает вертикальную ось в точке с координатами (0, r), то уравнение CML имеет вид:

где и обозначают ожидаемую доходность и среднеквадратичное отклонение эффективного портфеля.

Состояние равновесия на рынке ценных бумаг может быть охарактеризовано двумя ключевыми величинами. Первая - это ордината точки пересечения CML с вертикальной осью (т.е. безрисковая ставка), которую часто называют наградой за ожидание. Вторая - это наклон CML, который называют наградой за единицу принятого риска. По сути, фондовый рынок позволяет осуществлять торговлю временем и риском по ценам, определяемым спросом и предложением. Таким образом, две эти величины можно интерпретировать как цены времени и риска.

Рыночная линия ценной бумаги

Рыночная линия представляет собой равновесное соотношение ожидаемой доходности и среднеквадратичного отклонения для эффективных портфелей. Отдельные рискованные бумаги всегда будут находиться ниже этой прямой, так как единичная рискованная бумага сама по себе является неэффективным портфелем. В модели формирования курсов на фондовом рынке не подразумевается определенной связи между ожидаемой доходностью и среднеквадратичным отклонением (т.е. общим риском) для каждой отдельной ценной бумаги. Для того чтобы сказать больше об ожидаемой доходности, необходим более глубокий анализ.

Ранее было выведено следующее выражение для вычисления среднеквадратичного отклонения для любого портфеля:

где через Х_i и Х_j были обозначены доли инвестиций в бумаги i и j соответственно, а через - ковариация доходностей бумаг i и j. Теперь применим это выражение для вычисления среднеквадратичного отклонения для рыночного портфеля:

где через Х_i и Х_j обозначены доли инвестиций в бумаги i и j, которые входят в состав рыночного портфеля. Это выражение можно переписать по-другому:

В данной ситуации можно использовать одно из свойств ковариации: ковариация бумаги i с рыночным портфелем ( ) может быть выражена как взвешенное среднее ковариации каждой бумаги с бумагой i:

если применить это свойство к каждой из рискованных бумаг в рыночном портфеле, то в результате получим:

где через обозначена ковариация бумаги 1 с рыночным портфелем, через - ковариация бумаги 2 с рыночным портфелем и т.д. Таким образом, среднеквадратичное отклонение для рыночного портфеля равно квадратному корню из взвешенного среднeгo ковариаций всех бумаг с рыночным портфелем, где в качестве весов выступают доли инвестиций в бумаги, входящие в состав этого портфеля.

В САРМ каждый инвестор обладает рыночным портфелем и его интересует среднеквадратичное отклонение своего портфеля, так как от него будет зависеть наклон CML, а следовательно, и размер инвестиций инвестора в рыночный портфель. Вклад каждой бумаги в среднеквадратичное отклонение рыночного портфеля, как видно из последнего уравнения, зависит от величины ковариаций бумаги с рыночным портфелем. В соответствии с этим для каждого инвестора становится понятным, что величина допустимого риска каждой бумаги определяется ковариацией этой бумаги с рыночным портфелем, . Это означает, что инвесторы будут рассматривать бумаги с большим значением , как вносящие больной риск в рыночный портфель. Кроме того, отсюда также следует, что бумаги, среднеквадратичное отклонение которых велико, не обязательно вносят больше риска в рыночный портфель, чем бумаги с меньшей величиной среднеквадратичного отклонения.

Из этого следует, что ценные бумаги с большими значениями siM должны обеспечивать пропорционально большую ожидаемую доходность, что должно заинтересовать инвестора в их приобретении. Для того чтобы понять, почему так происходит, рассмотрим ситуацию, когда бумаги с большим значением , не обеспечивают инвесторам соответствующего уровня ожидаемой доходности. В такой ситуации получается, что эти бумаги вносят большую долю риска в рыночный портфель, не обеспечивая вместе с тем пропорционального увеличения ожидаемой доходности рыночного портфеля. Это означает, что при изъятии таких ценных бумаг из рыночного портфеля ожидаемая доходность портфеля по отношению к среднеквадратичному отклонению будет возрастать. А так как инвесторы сочтут такое изменение выгодным, то рыночный портфель перестанет быть оптимальным рискованным портфелем, а курсы ценных бумаг не будут находиться в равновесном состоянии.

Точная форма равновесной взаимосвязи между риском и доходом может быть записана в следующем виде:

Н а левом рисунке данное уравнение описывает прямую, пересекающую вертикальную ось в точке с ординатой r и имеющую наклон . Так как величина наклона положительна, то уравнение указывает на то, что курсы ценных бумаг с большим значением ковариаций с рыночным портфелем будут обеспечивать большую ожидаемую доходность r_i. Эта зависимость ковариции и ожидаемой доходности известна под названием рыночная линия ценной бумаги (Security Market Line, SML).

Интересен тот факт, что рискованная ценная бумага с будет иметь ожидаемую доходность, равную ставке процента безрисковой бумаги, r_f. Объясняется это тем. что такая рискованная бумага, так же как и безрисковая, не добавляет риска в рыночный портфель. Это так, несмотря на то, что рискованная бумага имеет положительное среднеквадратичное отклонение, а у безрисковой бумаги оно нулевое.

Возможно даже, что ожидаемая доходность некоторых рискованных бумаг (имеются в виду бумаги с положительным среднеквадратичным отклонением) окажется ниже, чем безрисковая ставка. Согласно САРМ, это имеет место, когда , т.е. ценные бумаги вносят отрицательную величину риска в рыночный портфель (это означает, что вносимый ими в рыночный портфель риск меньше, чем в случае, когда в эти бумаги инвестируется меньше средств).

Другим примечательным фактом является также то, что рискованная бумага с будет иметь ожидаемую доходность, равную ожидаемой доходности рыночного портфеля. Это связано с тем, что такая бумага вносит среднюю величину риска в рыночный портфель.

Уравнение SML может быть записано также и в следующей форме:

где под понимается следующее:

.

Величина называется коэффициентом “бета” (или просто “бетой”) для бумаги i и является альтернативным способом представления ковариаций бумаги. Предыдущее уравнение представляет собой иную форму записи уравнения SML, что видно из правого рисунка. Хотя обе прямые пересекают ось ординат в одной и той же точке, они имеют различный наклон. Наклон прямой, описанной последним уравнением, равен , а описанной первым уравнением SML - .

Одно из свойств коэффициента “бета” портфеля заключается в том, что он представляет собой взвешенное среднее коэффициентов “бета” входящих в него ценных бумаг, где в качестве весов выступают доли инвестиций в эти бумаги. Выражение для вычисления коэффициента “бета” портфеля выглядит следующим образом:

Ранее было показано, что ожидаемая доходность портфеля представляет собой взвешенную среднюю ожидаемых доходностей входящих в его состав ценных бумаг, где в качестве весов представлены доли инвестирования в эти бумаги. Это означает, что так как каждая бумага лежит на SML, то на этой же прямой будет лежать и каждый портфель. Но, точнее, не только каждая бумага, но и каждый портфель должны находиться на прямой, имеющей положительный наклон, где в качестве оси ординат выбрана ожидаемая доходность, а в качестве оси абсцисс — коэффициент “бета”. Следовательно, получается, что эффективные портфели лежат как на CML, так и на SML, а неэффективные лежат на SML, но ниже CML.

Следует отметить, что SML должна проходить через точку, изображающую рыночный портфель. Значение “беты” для этой точки равно 1, а ожидаемая доходность равна , т.е. ее координатами являются пара 1 и . Так как значение коэффициента “бета” безрисковых бумаг равно нулю, то SML должна проходить так же через точку с координатами 0 и r_f , т.е. должна пересекать вертикальную ось в точке с ординатой r_f. Теперь легко вычислить наклон SML как разницу ординат этих точек , деленную на разницу их абсцисс (1 — 0), в итоге наклон равен . Эти две точки, которые определяют положение прямой SML, представляют собой приемлемые ожидаемые доходности ценных бумаг и портфелей с различными значениями “беты”. Равновесное состояние, представленное SML, складывается в результате суммарного эффекта корректировки инвесторами структуры своих портфелей и результирующего давления на курсы бумаг. Обладая набором курсов ценных бумаг, инвесторы вычисляют ожидаемые доходности и ковариации, а затем определяют состав своих оптимальных портфелей. Если спрос на ценные бумаги какого-либо вида отличен от их предложения, то такая несбалансированность будет оказывать воздействие на их курс. Получив новую информацию о курсах, инвесторы пересмотрят свои намерения относительно различных бумаг. Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока общий спрос на ценные бумаги какого-либо вида не уравновесит их предложение, Для отдельного инвестора курс ценных бумаг и их перспективы заданы, а их количество он может менять. Для рынка же в целом количество бумаг фиксированно (по крайней мере, в короткий промежуток времени), а их курсы постоянно меняются. Как и на любом конкурентном рынке, для достижения равновесия на рынке ценных бумаг необходима корректировка курсов бумаг до тех пор, пока не установится соответствие между спросом на бумаги и их предложением, вполне логичным представляется обратиться к доходностям бумаги за прошедший период времени, для того чтобы определить, был ли ее курс сформирован в равновесии, как предполагалось в САРМ. Однако вопрос о том, можно ли осуществить такую проверку разумными методами, является спорным. Кроме того, при решении некоторых задач в рамках САРМ нет необходимости в таких проверках.

Выводы

1. Модель САРМ основана на ряде предположений о поведении инвестора и существовании совершенных фондовых рынков.

2. Исходя из этих предположений, портфели рискованных активов у всех инвесторов будут одинаковы.

3. Инвесторы различаются лишь размерами осуществляемого ими безрискового заимствования или кредитования.

4. Общий для всех инвесторов портфель рискованных активов называется рыночным портфелем.

5. Рыночный портфель включает все ценные бумаги, причем доля каждой ценной бумаги равна отношению ее рыночной стоимости к суммарной рыночной стоимости всех ценных бумаг.

6. Линейное эффективное множество в модели САРМ называется рыночной линией (CML). Эта прямая отображает равновесную зависимость между ожидаемыми доходностями и стандартными отклонениями эффективных портфелей.

7. Согласно САРМ, подходящей мерой риска ценной бумаги является ее ковариация с рыночным портфелем.

8. Линейное соотношение ковариации и ожидаемой доходности известно как рыночная линия ценной бумаги (SML).

9. Альтернативной мерой риска, вносимого ценной бумагой в рыночный портфель, является коэффициент “бета” этой бумаги. Значение “беты” равно отношению ковариации бумаги и рыночного портфеля к дисперсии рыночного портфеля.

10. Величины коэффициентов “бета” в модели САРМ и в рыночной модели сходны по смыслу. Однако в отличие от САРМ рыночная модель не является моделью равновесия финансового рынка. Более того, рыночная модель использует рыночный индекс, который в общем случае не охватывает рыночный портфель, используемый в САРМ.

11. Согласно САРМ, совокупный риск ценной бумаги складывается из рыночного и нерыночного рисков. В соответствии с рыночной моделью нерыночный риск связан только с данной ценной бумагой и поэтому называется собственным рисков