6. Пусть функция f ограничена на промежутке . Тогда

► Докажем первое из этих равенств. Обозначим через совокуп- ность тех точек промежутка , в которых функция f неотрицательна. Воз- можны два случая: 1) пусто и 2) не пусто .

В случае 1) f принимает на только отрицательные значения; поэ- тому ( x) ≡ 0, (х) = - f (х). Отсюда: . Но (см. выше) ) m(-f) = - M(f). Значит, .

В случае 2) если , то f(х) ≥ 0 , а (х) = f(х) ; если , то f(х<0, а (х) = 0. Отсюда легко видеть, что и , и так как на (х) = f(х), то . Далее, ясно, что при (х) = = 0; поэтому . Отсюда: .

Докажем равенство . По доказанному выше для функции g = -f имеем: . Отсюда, из свойства 3 и из (1) получим: , т.е. ◄

3. Интегральные суммы

Пусть , a < b, - ограниченный промежуток, а - некоторый набор точек, x₀ = a< x₁ <x₂ < … <x_l-1 <x_l =b. Обозначим: Каждый из промежутков X_j может быть промежутком любого типа (открытым, полуоткрытым, замкнутым ), однако, потребуем, чтобы выполня- лось равенство = . Таким образом, каждая из внутренних для точек x_j , j = 1,2, …, l-1, принадлежит хотя бы одному из разделяемых ею промежутков X_j-1 и X_j ; если точка a или точка b принадлежит , то она является соответственно левым концом промежутка X₁ или правым концом X_l. Совокупность промежутков , удовлетворяющую требованию = = , назовем дроблением промежутка и обозначим через τ: τ = . Мы будем также говорить, что дробление τ= = образовано набором точек . Длину промежутка X_j обозначим через : = x_j - x_j-1.

Пусть на определена функция f. На каждом из промежутков X_j , , выберем по точке ξ_j и составим сумму произведений:

. Эту сумму назовем интегральной суммой функции f по дроблению τ и обо- значим через τ): S (f, τ) = . Значение суммы S (f, τ) зависит не только от дробления τ, но и от выбора точек

Пусть функция f ограничена на . Введем обозначения: τ) = ; τ)= . Суммы τ) и τ) назовем соответственно нижней и верхней интег- ральными суммами функции f по дроблению τ.

1.4. Геометрический смысл интегральных сумм неотрицательной

функции.

Пусть функция f неотрицательна на некотором промежутке Р = = , , ограниченном или неограниченном. Обозначим через мно- жество точек М(х,у) , координаты которых удовлетворяют условиям

и : . представляет собой плоскую фигуру, ограниченную отрезком оси абсцисс, отрезками прямых x = a и x = b и графиком функции y = f(x), см. рис . 3. На этом рисун- ке точка с является точкой разрыва функции, и отрезок АВ прямой х = с также входит в состав границы фигуры . Фи-гуру назовем подграфиком функции f на промежутке Р = . В частно- сти, если функция f тождественно на равна С, С ≥ 0, то подграфик - это прямоугольник, в основании которого лежит отрезок оси абсцисс, а высота равна С. У кажем на еще один частный случай: пусть промежуток Р содержит только одну точку а: Р = [a,a] , и f (а) ≥ 0; тогда подграфик есть отрезок прямой х = а, ограниченный точками А(а,0) и В(а, f (а)).

Пусть функция f неотрицательна на ограниченном промежутке Р = , a < b, а τ = - дробление этого промежутка, образованное точками . Рассмотрим нижнюю интегральную сумму τ) = . На про- изведение m_j будем смотреть как на произведение измерений прямоуго- льника П_j, основанием которого является промежуток а высота равна m_j ( рис. 4). Тогда τ) есть сумма площадей всех прямоугольников, основаниями которых являются промежутки . Обозначим через _τ обьединение этих прямоугольников: _τ = . Заметим, что площадь пере-сечения двух соседних прямоугольников равна нулю; поэтому площадь “ступен-чатой” фигуры _τ равна сумме площа- дей составляющих её прямоугольников: σ( _τ) = = τ). В этом и состоит геометрическая интерпретация нижней интегральной суммы τ).

Аналогичную интерпретацию имеет и верхняя интегральная сумма τ) = . Произведение М_j есть площадь прямоугольника с основанием и высотой М_j , а τ) равна площади “ступенча- той” фигуры _τ = .

Заметим, что фигура _τ содержится в подграфике (рис. 4), а содержится в фигуре _τ ; значит, площади этих фигур удовлетворяют нера- венствам σ( _τ) ≤ σ( ) ≤ σ( _τ ). Таким образом, для всякого дробления τ промежутка Р = справедливы неравенства:

τ) ≤ σ( ) ≤ τ) (1) Нетрудно видеть, что интегральная сумма S (f, τ) = также может быть интерпретирована как площадь “ступенчатой” фигуры – обьединения прямоугольников с основаниями и высотами f (ξ_j).

1.5. Свойства интегральных сумм

В этом пункте τ = - дробление ограниченного промежутка Р = = , a < b, образованное набором точек . f – функция, ограниченная на Р, а и - её неотрицательные составляющие. Обозначим:

;

.

Используются и другие обозначения, введенные выше.

1. τ) ≤ S (f, τ) ≤ τ).

► Так как ξ_j , то m_j ≤ f (ξ_j) ≤ M_j , . Отсюда: m_j ≤ f (ξ_j) ≤ M_j , . Почленно сложив эти неравенства, полу- чим неравенства для интегральных сумм, которые требовалось доказать. ◄

2. τ) = τ) - τ) ; τ) = τ) - τ).

► Имеем (см. п.1.2, свойство 6): на промежутке Отсюда: и , Складывая эти равенства почленно, получим равенства для интегральных сумм. ◄

3. Всякая нижняя интегральная сумма функции f не превышает любой из её верхних интегральных сумм, т.е. для любых двух дроблений τ′ и τ″ про- межутка Р = справедливо τ′) ≤ τ″).

► Пусть сначала f неотрицательна на Р. Из неравенств (1) имеем для любых двух дроблений τ′ и τ″: τ′) ≤ σ( ) и σ( ) ≤ τ″); значит, τ′) ≤ τ″).

Пусть теперь f – произвольная ограниченная на Р функция, а и - её неотрицательные составляющие. Так как и неотрицательны, то по доказанному выше τ′) ≤ τ″) ; τ′) ≤ τ″). Отсюда и из равенств 2. следует: τ′) = τ′) - τ′) ≤ τ″) - τ′) = = τ″). ◄

Замечание. Обозначим через совокупность нижних интегральных сумм функции f по всевозможным дроблениям промежутка . Из свойст- ва 3. следует, что всякая верхняя интегральная сумма является верхней гра- нью множества . Обозначим: .

Обозначим через совокупность верхних интегральных сумм функ- ции f по всевозможным дроблениям промежутка . Всякая верхняя интег- льная сумма τ) не меньше , так как τ) является верхней гранью множества нижних интегральных сумм, а - точная верхняя грань этого множества. Значит множество ограничено снизу числом . Обозначим: . Заметим: , так как - нижняя грань множества , а - его точная нижняя грань. Таким образом, для произвольного дробления τ проме- жутка справедливы неравенства

τ) ≤ ≤ τ). (2)