5. Схема испытаний Бернулли. Полином.Распределение.

Предп., что в рез. испыт. возможны 2 исхода: «У» и «Н»-успех и неудача.Р(У)=р, Р(Н)=q; p+q=1, и производ.независимо друг от друга n таких испытаний.

Послед-ть n испыт.наз. испытан.Бернулли, если эти испыт. независимы, а в каждом из них возм. 2 исхода, причем вер-ти этих исходов не меняются от испытания к испытанию. Для того,чтобы испыт.наз. испыт.Бернулли,должны вып.след.усл:

1.испыт.должно быть конечное число.

2.испыт.должны быть независимы.

3.возможны тока 2 исхода в каждом испыт.

4.вер-ти успеха и неудачи не меняются в каждом испытании.

Элементар.исходом будет явл.:(w₁,w₂,…,w_n),w_i {У,Н},i= . Всего таких исходов 2ⁿ.Кроме того,P(w₁,w_1…w_n)=P(w₁)·P(w₂)·…·P(w_n). Формула показ., что события независимы.

Обозн.через P_n(k) число успехов в n испытаниях Бернулли. Тогда P_n(k)=Р{(У…У,Н…Н)+(У…У,Н,У,Н…Н)+…+(Н…Н,У…У)}=Р{(У…У,Н…Н}+Р{(У…У,Н,У,Н…Н)}+…+Р{(Н…Н,У…У)}=

Таким образом, получим

—формула Бернулли.

Полиномиальное распределение.

Предпол., что в рез. испыт. возмож. k исходов E₁, E₂, …, E_k, вер-ти кот. P(E₁)=p1, P(E₂)=p2,…, P(E_k)=pk. Тогда вер-ть того, что в n незав. испыт. событие E₁ появ.r₁ раз, E₂ – r₂ раз, …, E_k – r_k раз вычисл. по формуле: -ф-ла поленом.распред. Причем и .

Замеч.Формула полином. распред. обобщает формулу Бернулли на случай конечного числа k элем-ых исходов в каждом испытании.

7.Мат.Ожидание дискр.Случ.Величины.Св-ва

Мат.ожид.дискр.случ.велич.наз.сумму произвед.всех ее возм. знач. на их вер-ти.Обозначают Х:МХ=М(Х)=Е(Х).

Если случ. велич. Х приним. конеч.число знач., то , если же Х прин.счетное число знач, то мат ожид причем ряд должен сход.абсолютно.

Замеч.Мат. ожидание дискретной случайной величины—это неслучайная величина (т.е. число, постоянная).

Св-ва математического ожидания:

1.Мат. ожидание пост.величины= самой постоянной:M(C)=C.

Будем рассм.пост. С как дискретную случ. величину, кот. принимает одно возм.знач. С с вер-тью 1. След., М(С)=С·1=С.

Замеч.Произвед. пост.вел.С на дискр. случ.вел.Х опред. как дискр. случ. вел.СХ возм.знач кот.=произв-ям.пост.С на возм.знач.Х, а вер-ти возм. знач. случ.вел.СХ=вер-ям соответ.возмож.знач.случ.вел.Х.

2.Постоянный множитель можно выносить за знак мат. ожидания:

M(CX)=CM(X).Док-во: M(CX)= .

3.Мат. ожидание произведения 2х независимых случ. величин = произвед. их мат. ожиданий: М(ХУ)=МХ·МУ.

Следствие. Мат.ожидание произведения неск. взаимно независимых случ. величин равно произведению их мат.ожиданий.

4.Мат. ожидание суммы 2х случ.величин =сумме мат.ожиданий слагаемых:М(Х+У)=МХ+МУ

Следствие. Мат. ожидание суммы неск. случайных величин =сумме мат. ожиданий слагаемых.

Теорема 1. Мат.ожидание числа появл.события А в n незав. испытаниях = произведению числа испытаний на вер-ть появл. события в каждом испытании: MX=np.

Док:Рассм в кач.случ вел.Хчисло появл.событ. А в n независ. испыт. Очевид,что общее число Х появл.события в этих испыт.складыв. из числа появл.события в опред. испытаниях. Обозн. через Х_i, i= число появлений события А в iом испытании. След.,Х=Х₁+Х₂+Х_n

МХ= . МХ_i=р,следоват,МХ=