2.2.8 Тема: Ряды с положительными членами (4-часа)
Пусть дан ряд
с неотрицательными
членами
.Исследуем
вопрос о его сходимости или расходимости.
Так как частичные суммы ряда с
неотрицательными членами образуют
неубывающую последовательность, то это
ряд сходится тогда и только тогда, когда
последовательность
его частичных сумм ограничена.
Приводим признаки сходимости положительных рядов.
Теорема 2. ( признак сравнения). Пусть имеется два ряда
(
)
(
)
с положительными
членами
,
удовлетворяющими неравенству
(5)
для всех, за исключением, быть может, конечного числа членов рядов.
Тогда если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится, если же ряд (1) расходится, то ряд (2) также расходится.
Доказательство.
Пусть ряд (
)
сходится, тогда последовательность
частичных сумм второго ряда
возрастает
и имеет своим пределом сумму этого ряда
.
.
Из условия (5)
следует, что
.
Последовательность
возрастает и ограничена сверху числом
,
следовательно, согласно свойствам
пределов она имеет конечный предел,
т.е. ряд (
)
сходится.
Пусть теперь ряд
(
)
расходится, тогда последовательность
возрастает и не ограничена сверху, т.е.
.
А, поскольку
,
то
и ряд (
)
расходится.
Пример 4. Исследуем сходимость ряда
.
Для сравнения
используем расходящийся гармонический
ряд
.
При
и
,
поэтому, согласно первому признаку сравнения, исследуемый ряд расходится.
Для сравнения обычно используют такие известные ряды как геометрическая прогрессия или ряд Дирихле.
Рядом Дирихле называется числовой ряд вида
.
Немного позже мы
докажем, что ряд Дирихле при
сходится, а при
расходится. При
он превращается в гармонический ряд.
Пример 5. Исследуем
сходимость ряда
.
Для сравнения
возьмем сходящийся ряд Дирихле
.
(Здесь
).
Поскольку
,
то
для всех
.
И исследуемый ряд сходится.
Теорема 3. (Предельный признак сравнения).
Пусть ряды (1)
(2)
с положительными членами таковы, что существует конечный ненулевой предел
.
Тогда ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.
Из существования
указанных пределов следует, что для
положительных чисел
,
где
найдется такой номер
,
что для
выполняется неравенство
;
т.е.
.
Если ряд (1) сходится,
то из неравенства
,
первого признака сравнения и свойства
2) рядов следует, что ряд (2) сходится.
Если ряд (1)
расходится, то из неравенства
первого признака сравнения и свойства
2) следует, что ряд (2) расходится.
Пример. Исследуем сходимость ряда
.
Для сравнения подберем ряд Дирихле следующим образом. Оставив в числителе и знаменателе слагаемые с наибольшей степенью, получим ряд с членами
,
которые
составляют сходящийся ряд Дирихле с
параметром
.
Найдем число .
Итак, согласно предельному признаку, исследуемый ряд сходится.
Теорема 4. (Признак Даламбера)
Пусть у ряда
где
существует предел отношений
,
(6)
тогда:
а) если
,
то этот ряд сходится,
в) если
или
этот ряд расходится.
При данный признак не применим.
Пусть
.
Из существования предела (6) следует,
что найдется такой номер
,
что при
выполняется неравенство
,
где
взято столь малым, что
.
Из последнего
равенства следует, что
при
,
т.е.
,
,
…,
.
(7)
Ряд
является сходящейся геометрической
прогрессией. Из (7) и первого признака
сравнения следует, что исследуемый ряд
сходится. В случае
,
начиная с некоторого номера
,
выполняется неравенство
где
.
Этот случай разберите самостоятельно.
Признак Даламбера
удобно применять в тех случаях, когда
выражения для членов
содержат факториалы и показательные,
относительно
,
функции.
Пример7.
Исследуем сходимость ряда
.
Для этого ряда
,
поэтому
,
т.к. , то исследуемый ряд сходится.
Теорема 5.
(Радикальный
признак Коши).
Пусть в
ряде
,
где
,
существует предел
.
(8)
Тогда:
а) если , то этот ряд сходится,
в) если или ,то этот ряд расходится.
При , как и в предыдущем случае, признак Коши не применим.
Пусть .
Из существования
предела (8) следует, что найдется такой
номер
,
что при
выполняется неравенство
,
где
взять столь малым, что
.
Последнее неравенство перепишем в виде
.
Используя первый
признак сравнения для исходного рода
и сходящейся геометрической прогрессии
,
получим, что исследуемый ряд сходится.
Случай
рассмотрите самостоятельно. Этот признак
Коши удобно применять в тех случаях,
когда
извлекается.
Пример 8.
Исследуем сходимость ряда
.
Вычислим требуемый
предел.
.
(Второй замечательный предел). Поскольку
,
то исходный ряд сходится.
Теорема 6. (Интегральный признак Коши).
Пусть имеется ряд
и
пусть
,
-
неотрицательная монотонно убывающая
функция на промежутке
.
Тогда
ряд
сходится (расходится) тогда и только
тогда, когда сходится (расходится)
несобственный интеграл
(9)
Пусть ряд (1) сходится
и имеет сумму
.
Тогда его частичная сумма
геометрически представляет собой
площадь ступенчатой фигуры, составленной
из прямоугольников с основаниями 1 и
высотами
(см. рис.1).
Рис. 1
Интеграл
есть площадь криволинейной трапеции,
с основанием
,
которая меньше
,
т.е.
.
Поэтому интеграл
с переменным верхним пределом
не убывает и ограничен сверху числом
,
следовательно
существует и
сходится.
Пусть теперь ряд (1) расходится. Тогда его частичная сумма без первого члена
равна
площади ступенчатой фигуры меньшей
площади, чем криволинейная трапеция с
основанием
(см. рис.2), т.е.
Рис.2
Поскольку ряд
расходится, то
,
и интеграл
расходится.
Пример 9. Исследуем
сходимость ряда Дирихле для различных
:
.
Функция
получается путем замены индекса
суммирования
на
.
При
она удовлетворяет всем условиям теоремы.
Она непрерывна, в промежутке
,
т.к. имеет разрыв только в точке
в этом промежутке и убывает в нем, т.к.
ее знаменатель возрастает с ростом
.
Пусть
,
тогда
,
т.е. при этот интеграл и ряд Дирихле сходятся.
При
этот интеграл и ряд Дирихле расходятся.
При
.
Заметим, что при
члены ряда Дирихле не стремятся к нулю,
поэтому он расходится согласно следствию
из необходимого признака.
Следствие.
Интегральный
признак можно применять и к рядам вида
.
В этом случае
условия, накладываемые на функцию
должны выполняться на промежутке
.
Доказательство этого факта проведите самостоятельно по образцу доказательства теоремы.
Интегральный признак следует применять в тех случаях, когда возможно интегрирование функции .
Пример10.
Исследуем сходимость ряда
.
Понятно, что член этого ряда по написанной формуле определить не- возможно.
Элементарная
функция
определена в промежутке
,
поэтому она непрерывна в промежутке
,
положительна в нем и убывает, т.к. ее
знаменатель возрастает с ростом
.
Найдем несобственный
интеграл
.
Т.е. исследуемый ряд расходится.
Основная литература:
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.2 М.:Наука,1985г. (стр. 250-262)
Гусак А.А. Высшая математика Т.2. Мн.: Тетро Системс, 2001г. (стр. 119-127)
Контрольные вопросы:
1. Положительные ряды.
2. Признак сравнения.
3. Предельный признак сравнения.
4. Признак Д, Аламбера.
5. Признак Коши.
6. Интегральный признак Коши.