Общий интеграл его есть
.
Пример.
,
,
,
,
.
Это- семейство
концентрических окружностей с центром
в начале координат и радиусами
.
Уравнение вида
,
(6.3)
в которых коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от и только от , называется уравнением с разделяющимися переменными.
Путем деления
обеих частей на произведение
они приводятся к уравнениям с разделенными
переменными:
или
,
т.е. к уравнению вида (6.2). Общий интеграл этого уравнения имеет вид
.
Примеры:
1)
.
Разделяем переменные
;
;
;
;
- общее решение;
2)
;
;
;
;
;
;
.
Однородные уравнения первого порядка
Определение
1. Функция
называется однородной
функцией
-го
измерения относительно переменных
и
,
если при любом
справедливо тождество
.
Примеры:
1)
;
- однородная функция первого измерения.
2)
;
- однородная функция третьего измерения.
3)
;
- однородная функция нулевого измерения.
Определение 2. Уравнение первого порядка
(7.1)
называется однородным уравнением, если функция есть однородная функция нулевого измерения относительно и .
Метод решения
однородного уравнения следующий. По
условию
.
Положим в этом тождестве
,
получим
,
т.е. однородная функция нулевого измерения
зависит только от отношения аргументов.
Уравнение (7.1) в этом случае примет вид
(7.2).
Сделаем подстановку
,
т.е.
.
Тогда будем иметь
.
Подставляя это выражение производной в уравнение (7.2) получим
.
Это уравнение с разделяющимися переменными:
,
.
Интегрируя, найдем
.
Подставляя после
интегрирования вместо
отношение
,
получим интеграл уравнения (7.2).
Пример.
.
Справа стоит однородная функция нулевого измерения, следовательно, это однородное уравнение.
Делаем замену
.
Тогда
;
;
;
;
.
Разделяя переменные, получим
;
.
Отсюда, интегрируя находим
;
;
.
Подставляя , получим общий интеграл исходного уравнения
.
Замечание.
Уравнение вида
будет однородным в том и только в том
случае, когда
и
являются однородными функциями одного
и того же измерения. Это вытекает из
того, что отношение двух однородных
функций – функций одного и того же
измерения является однородной функцией
нулевого измерения.
Пример.
.
Переходить к виду, разрешенному относительно производной, не обязательно.
,
,
.
Подставляем эти значения в уравнение.
,
.
Разделяя переменные, получим
,
,
,
.
Подставляя вместо , получим
,
,
-
общее решение.
Линейные уравнения первого порядка.
Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной вида
,
(9.1)
где
и
-
непрерывные функции от
.
Будем искать решение уравнение (9.1) в виде произведения двух функций от
.
(9.2).
Дифференцируя обе части равенства (9.2), находим
.
Подставляя
полученное значение производной
в уравнение (9.1.), имеем
,
или
.
(9.3).
Выберем функцию
такой, чтобы
(9.4).
Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении, находим
,
.
Интегрируя, получим
,
или
.
Так как нам достаточно какого-нибудь отличного нуля решения уравнения (9.4), то за функцию возьмем
.
(9.5).
Очевидно, что
.
Подставляя найденное значение в (9.3) и, учитывая (9.4), получим
или
;
.
Подставляя значения
и
в формулу (9.2), получаем
.
(9.6).
Пример.
Решить уравнение
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Замечание: При нахождении решения линейного уравнения (9.1) можно пользоваться формулой (9.6).