Теорема Гаусса для диэлектриков

Влияние диэлектрика на электрическое поле сводится к действию поляризационных зарядов. Поэтому к диэлектрикам можно применить соотношение электростатической теоремы Гаусса, добавив при этом к свободным зарядам q поляризационные заряды q_пол

Подставив сюда значение q_пол , получим

Введем новый вектор

называемый вектором электрической индукции, или электрического смещения. Тогда

Это и есть теорема Гаусса для электрического поля в диэлектрике. Мы видим, что поток вектора D через замкнутую поверхность определяется только свободными зарядами. Этим и оправдывается введение вектора D. В вакууме векторы D и Е совпадают.

В дифференциальной форме соотношение это имеет вид (*)

где р — объемная плотность свободных зарядов. Они постулируются также для переменных во времени полей. Эти теоремы входят как составные части в систему фундаментальных электродинамических уравнений Максвелла.

Получим следующие выражения:

Но для той же величины можно написать

Следовательно,

Теорема Гаусса для вектора электрического смещения в диэлектрике имеет такой же вид, как и для напряженности электрического поля в вакууме. Поэтому все математические соотношения, полученные из нее для вакуума, сохраняют силу и для однородного диэлектрика. Надо только вектор Е заменить вектором D. Получаем, например,

Электрическое смещение точечного заряда в однородном диэлектрике определяется выражением

Граничные условия

Из теоремы Гаусса для диэлектриков получается следующее условие на границе раздела двух диэлектриков:

где σ — поверхностная плотность свободных зарядов на этой границе.

Поверхностная плотность поляризационных зарядов равна

У читывая её, получаем Е_2n – E_1n = 4π (σ + σ_пол ) или

Здесь единичная нормаль n проведена от металла к диэлектрику. Если на границе раздела нет свободных зарядов, то

Таким образом, при переходе через незаряженную границу двух диэлектриков нормальная составляющая вектора D остается непрерывной. Что касается вектора Е, то на любой границе остаются непрерывными его тангенциальные составляющие:

Обычный метод измерения Е по силе, действующей на пробный заряд, годится для поля в вакууме, а к веществу применим не всегда. Дело в том, что выражение для действующей силы F = qЕ справедливо в вакууме, а в веществе в лучшем случае является приближенным. Кроме того, внесение пробного заряда в вещество может оказаться просто невозможным, например при необходимости измерить напряженность или электрическое смещение поля в твердом диэлектрике. Единственный принципиальный способ измерения векторов Е и D внутри среды, пригодный во всех случаях, состоит в том, чтобы в теле сделать полость и внести в нее пробный заряд. Однако измеренное таким путем поле, вообще говоря, не будет совпадать ни с вектором Е, ни с вектором D. Результат зависит от формы полости. Только для полостей специальной формы измерение непосредственно дает Е и D. Рассмотрим два случая.

Случай 1. Полость имеет форму очень длинного и тонкого цилиндрического канала, параллельного полю Е. Количество вещества внутри канала бесконечно мало. Его удаление из этого канала меняет электрическое поле в окружающем диэлектрике бесконечно мало. На концах канала появляются лишь поляризационные заряды, влияние которых на электрическое поле вдали от этих концов пренебрежимо мало. Из соображений симметрии следует, что поле в канале E₀ параллельно наружному полю Е. Поэтому из граничного условия получаем Е = E₀. Таким образом, измерение Е сводится К измерению E₀.

Случай 2. Полость имеет форму бесконечно короткого цилиндра с основаниями, перпендикулярными к вектору D. Как и в предыдущем случае, удаление вещества из такой бесконечно малой полости сказывается на поле в окружающем диэлектрике также бесконечно мало. Действительно, на границах полости появляются поляризационные заряды противоположных знаков. Вне полости поля этих зарядов почти полностью компенсируют друг друга. Однако внутри полости поля поляризационных зарядов усиливают друг друга, что существенно меняет поле в полости. Внутри полости электрическое поле E₀, ввиду симметрии, перпендикулярно к ее основаниям. В полости напряженность и индукция поля совпадают (Eg = D₀). Поэтому из граничного условия получаем D = E₀. Измерение D сводится к измерению E₀.