Деякі властивості інтегральних перетворень Гільберта

Найпростіша властивість інтегральних перетворень –лінійність.

при будь-яких постійних і , у чому можна переконатися безпосередньо.

Оскільки ядро перетворення Гілберта є непарною функцією аргументу відносно точки , то сигнал, спряжений до константи, тотожно дорівнює нулю .

.

Дуже важлива властивість перетворення Гілберта полягає ось у чому. Якщо при якому-небудь сигнал досягає екстремуму, то в околі цієї точки спряжений сигнал проходить через нуль.

Щоб переконатися в цьому, слід на одному кресленні сумістити графіки та ядра .

Припустимо, що близьке до тієї величини , при якій екстремальна. При цьому внаслідок парності сигналу та непарності ядра буде спостерігатися компенсація площ фігур, обмежених горизонтальною віссю та кривою, що описує підінтегральну функцію перетворення Гільберта. Образно кажучи, це означає, що, якщо початковий сигнал змінюється у часі “подібно косинусу”, то спряжений до нього сигнал буде змінюватись “подібно синусу”.

Слід відзначити, що перетворення Гільберта мають нелокальний характер: поведінка спряженого сигналу в околі якої-небудь точки залежить від властивостей початкового сигналу на всій осі часу. Хоча найбільший вклад дає, звичайно ж, досить близький окіл розглянутої точки.

Перетворення Гільберта від гармонічних сигналів

Припустимо, що деякий довільний сигнал заданий за допомогою перетворення Фур’є :

(10)

На основі (6) знаходимо аналогічне представлення спряженого сигналу:

Порівняння останнього результату з (10) приводить до наступних законів перетворень Гільберта:

Перетворення Гільберта від вузькосмугового сигнала

Припустимо, що вузькосмуговий сигнал заданий за допомогою синфазної та квадратурної амплітуд, що відповідають деякій довільно вибраній опорній частоті:

(11)

Вивчимо властивості сигналу, який є спряженим у відношенні до . Для цього підставимо вираз (11) у формулу (7), розклавши функції та , які повільно змінюються, у ряд Тейлора відносно точки :

Прийнявши до уваги те, що похідні , , , і т. д. є малими, обмежимось урахуванням лише перших членів цих розкладань.

Тоді наближено:

(12)

Отже, спряжений сигнал у даному випадку також є вузькосмуговим.

Остання рівність означає, що, якщо комплексна обвідна початкового сигналу

,

то для спряженого сигналу

.

Комплексна обвідна спряженого сигналу відрізняється від комплексної обвідної початкового коливання лише наявністю постійного фазового зсуву на у бік затримки.

Обвідна, повна фаза та миттєва частота

В рамках методу перетворення Гільберта обвідна довільного сигналу визначається як функція, що описує зміну у часі модуля аналітичного сигналу

. (13)

Доцільність такого визначення може бути перевірена на прикладі обвідної вузькосмугового сигналу. Тут на основі (11) і (12) обвідна

_.

Повна фаза будь-якого сигналу за визначенням дорівнює аргументу аналітичного сигналу :

. (14)

Нарешті, миттєва частота сигналу є похідною від повної фази за часом

(15)