2.2. Рівняння Лагранжа II роду при дії на систему потенційних сил

Якщо всі сили, що діють на механічну систему, потенційні, то узагальнені сили рівні узятим із знаком мінус частковим похідним від потенційної енергії по відповідних узагальнених координатах . Отже, рівняння Лагранжа можна представити у вигляді:

.

Потенційна енергія П системи від часу t не залежить, від швидкості руху також не залежить, тому рівняння Лагранжа можемо переписати так:

.

У механіці вводять функцію L=T-П, яку називають функцією Лагранжа або кінетичним потенціалом. Рівняння Лагранжа II роду у разі дії на систему потенційних сил приймають вигляд

(2.23)

З|із| отриманого результату виходить, що стан|достаток| механічної сис­теми|, на яку діють потенційні сили, визначається | одній тільки|лише| функцією Лагранжа. Знаючи цю функцію, можна скласти диференціальні рівняння руху механічної системи.

2.3. Приклади|зразки| складання рівнянь руху механічних систем за допомогою рівнянь Лагранжа

Складатимемо рівняння руху механічних систем, для яких вже вибрані узагальнені координати, і отримані|одержувати| вирази узагальнених сил в прикладах|зразках| 1-5.

Передбачається|припускається|, що читач знайомий з|із| обчисленням|підрахунком| кинетичної| енергії матеріальних точок|точок| і твердих тіл. При складанні рівнянь руху необхідно виразити|виказувати| кінетичну енергію системи через прийняті узагальнені координати і узагальнені швидкості.

Приклад 2.1. Довжина маятника (рис. 1.8) рівна l, його маса m . Скласти рівняння його руху, прийнявши як узагальнену координату а)

Оскільки дана механічна система має одну ступінь свободи, то складається одне рівняння руху у формі:

(2.24)

Вираз для узагальненої сили, відповідній прийнятій узагальненій координаті, Q=P=mg (див. (1.28)). Кінетична енергія маятника

.

Проекція швидкості на вісь х через накладений зв'язок (1.27) рівна

. (2.25)

Підставляючи (2.25) у вираз|вираження| кінетичній енергії, отримаємо|одержуватимемо|

. (2.26)

Звідки

.

Підставимо отриманий|одержувати| вираз|вираження| в (2.24)

.

Після скорочення на m отримуємо рівняння руху маятника у вигляді

. (2.27)

б)

Рівняння руху складаємо у формі

. (2.28)

Вираз для узагальненої сили був отриманий у вигляді (1.29) .

Отримаємо|одержуватимемо| вираз|вираження| кінетичній енергії , де через накладений зв'язок (1.27)

. (2.29)

Звідки

, ],

.

Підставимо отриманий|одержувати| вираз|вираження| в (2.28)

.

Після скорочення на m отримуємо рівняння руху маятника у вигляді:

. (2.30)

в) q=S.

Складаємо рівняння руху у вигляді|виді| .

Вираз|вираження| узагальненої сили був отриманий|одержувати| раніше - (1.30): .

Кінетична енергія маятника , але |та|, тому .

Звідки

Отримуємо|одержуємо| рівняння руху маятника у вигляді|виді| ,

або . (2.31)

Для малих коливань маятника можна прийняти , тоді рівняння малих коливань має вигляд|вид|

. (2.32)

г) q=φ.

Рівняння руху складаємо у вигляді . Вирази для узагальненої сили було вже отримано (див.(1.31)) .

Кінетична енергія матеріальної точки|точки|: , де , тобто .

Звідки , .

Отримуємо рівняння руху маятника , або, враховуючи, що P=mg

. (2.33)

Для малих коливань маятника вважають|гадають| і рівняння (2.33) приймає вигляд|вид| . (2.34)

Зіставляючи|співставляти| диференціальні рівняння руху маятника у вигляді|виді| (2.27), (2.30), (2.31) і (2.33) потрібно зробити висновок|висновок|, що вибір узагальненої координати може бути вдалим|успішним| і невдалим. При вдалом| виборі узагальнених координат рівняння руху виходять простіше, отже, і вирішувати|рішати|, або аналізувати ці рівняння | буває значно легше.

Приклад 2.2. Скласти диференціальні рівняння руху подвійного математичного маятника (рис. 1.10). Як узагальнені координати при обчисленні узагальнених сил були прийняті кути φ₁ і φ₂.

Рівняння Лагранжа мають вигляд:

, .

Узагальнені сили були отримані|одержувати| раніше (див. (1. 33)) .

Складемо вираз|вираження| кінетичній енергії системи

,

де V₁ і V₂ - абсолютні швидкості точок. Якщо скористатися виразами та , буде допущена помилка, оскільки якщо V₁ - абсолютна швидкість першої маси, то - відносна швидкість другої маси щодо першої рухомої маси. Скористаємося координатним способом визначення швидкостей . Координати точок M₁ і M₂ при прийнятому позначені осей і виборі узагальнених координат визначається через прийняті узагальнені координати виразами (1.32, а)

, ,

, .

Диференціюючи їх за часом, отримаємо|одержуватимемо|:

, ,

, .

Тоді

.

Кінетична енергія системи набере вигляду:

.

Складемо спочатку рівняння Лагранжа по координаті φ₁

,

,

.

Отримуємо|одержуємо| перше рівняння руху:

після скорочення на l₁

Після привіду подібних членів оримаємо:

2.35)

Складемо друге рівняння руху

,

,

.

Підставляємо в рівняння Лагранжа отримані значення

Після приведення подібних членів рівняння одержит вид

. (2.36)

Коливання двойного математичного маятника описуються системою двох нелінійних дифференціальних рівнянь (2.35) и (2.36), интегрування якіх зв’зано с великими труднощами. Зазвичай виконують интегрування рівнянь малих коливань, котрі отримують, застосуваннням спрощених виразів узагальнених сил Q₁ и Q₂ и кінетичній енергіі T, застосуванням в них: , , ,

,

.

Рівняння малих коливань двойного математичного маятника мають вигляд:

(2.37)

Це вже система двох лінійних рівнянь 2-го порядку, яку значно легше рішати, ніж систему нелінійних рівнянь (2.35) та (2.36).

Приклад 2.З. Отримати рівняння коливання вантажу на пружині, жорсткість якої C (рис. 1.14).

Вираз кінетичній енергії .

Звідки

Узагальнена сила рівна (див. (1.34)) .Підставляючи набутих значень в рівняння Лагранжа ,

отримаємо , або . (2.38)|одержуватимемо|

Приклад 2.4. Скласти диференціальні рівняння руху трьохмасової системи m₁, m₂, m₃ на пружинах, жорсткості яких рівні C₁, C₂ ,C₃ (рис. 1.16).

Система має три ступеня свободи. Складаємо три рівняння

, , . (2.39)

Узагальнені координати, що визначають положення|становища| мас у будь-який момент часу, були вибрані (див. рис. 1.16). Початки координат розташовані|схильні| у положенні|становищі| статичної рівноваги вантажів|тягарів|. Кінетична енергія механічної системи рівна

.

Вирази узагальнених сил, відповідних прийнятим узагальненим координатам були отримані раніше (див. (1.40) (1.41) (1.42)).

, , .

Похідні від кінетичної енергії по узагальнених координатах і швидкостях рівні:

, , .

, , .

, , .

Підставляючи ці значення в рівняння Лагранжа (2.39), отримуємо|одержуємо| сис­тему| трьох диференціальних рівнянь руху механічної системи з|із| трьома ступенями свободи

або (2.40)

Це система 3-х лінійних диференціальних рівнянь 2-го порядку|ладу|, що описують вільні коливання трьох вантажів|тягарів| на пружинах. Рух даної системи відбувається|походить| під дією тільки|лише| потенційних сил.

Складемо рівняння руху механічної системи у формі (2.23) з використанням функції Лагранжа

, , . (2.41)

У даному конкретному випадку, використовуючи вирази для T і П (див. (1.43)), маємо

,

звідки

, .

, , .

Підставляючи необхідні значення в (2.41), отримуємо|одержуємо| рівняння руху трьохмасової механічної системи

або після|потім| перетворення у вигляді|виді| (2.40).

Як видно|показний| з|із| другого прикладу|зразка|, для складання рівнянні руху необхідно уміти складати вирази кінетичній і потенційній енергії механічних систем.

Приклад 2.5. Скласти диференціальне рівняння руху кривошипно-шатунового механізму (рис. 1.17). Довжина кривошипа r, довжина шатуна l.

Завдання максимально спрощене для того, щоб зрозуміти суть складання рівнянь руху механізмів. Тут ми не враховуватимемо маси повзуна, кривошипа і шатуна. Якби ми їх враховували, то їх значення увійшли б до виразу кінетичній енергії, у разі розташування механізму я вертикальній плоскості, сили тяжіння кривошипа і шатуна увійшли б до виразу узагальненої сили. Враховуємо тільки масу махового колеса, що жорстко скріплене із кривошипом. Маса колеса m, радіус інерції щодо осі обертання i. Кривошипно-шатуновий механізм рухається під дією сили P, прикладеної до повзуна, і моменту корисного опору M, прикладеного до кривошипа (до колеса). Приблизно така схема кривошипно-шатунового механізму паровоза, строгального верстата та інших.

Як узагальнену координату приймаємо кут повороту кривошипа q=φ. Механізм має одну ступінь свободи. Складаємо рівняння руху механізму за допомогою рівняння Лагранжа

. (2.42)

Вираз|вираження| узагальненої сили був отриманий|одержувати| раніше (див. (1.48))

.

Кінетична енергія всього механізму рівна в нашому прикладі кінетичної енергії махового колеса , де .

, .

Підставляємо необхідні дані в рівняння (2.42)

,

або . (2.43)

Ми отримали|одержували| нелінійне диференціальне рівняння другого порядку|ладу|, що описує рух кривошипно-шатунового механізму.

Рух більшості механізмів описується нелінійними диференціальними рівняннями, інтегрувати які вельми складно. В основному їх рішення можна здійснити численно за допомогою програмних продуктов Mathcad или Mathlab, або на аналогових електронних машинах. Проінтегрувавши рівняння (2.43), ми отримаємо і за допомогою рівнянь зв'язку (1.46) знайдемо закон руху вузлів механізму

, , .

Ці дані дозволяють визначати кінетичні характеристики руху кривошипа і шатуна і розрахувати зусилля в елементах механізму, що є|з'являються| основними при конструюванні механізмів і машин.

Приклад 2.6.

Для механізму, що показаного на рис. 2.1, який складається з трьох тіл, отримати вирази узагальнених сил для двох варіантів додатку зовнішнього гальмівного моменту (M_т): варіант 1 - M_т прикладений до тіла 2 і утримує механізм від руху; варіант 2 – M_т прикладений до тіла 3 і також утримує механізм від руху. Скласти умови рівноваги механічної системи в узагальнених координатах для цих варіантів, обчислити і порівняти потрібні для рівноваги системи значення M_т при наступних початкових даних: m₁=100 кг, m₂=30 кг, m₃= 40 кг, R₂=R₃=1м, r₂=0,6 м, r₃=0,4 м. В якості узагальненої координати прийняти вертикальне переміщення вантажу 1 – q₁.