Симметричная информация об усилиях

Рассмотрим ситуацию, в которой принципал может четко отслеживать (анализировать) величину усилий агента, иначе говоря, усилия агента наблюдаемы принципалом. Поскольку свои усилия агент знает сам, то существует симметричная информация об усилиях.

Определим, какой уровень усилий агента в этом случае обеспечивает принципалу наибольшую полезность.

Значение функции полезности для принципала – прибыль фирмы (т.е. величина чистого дохода равная величине дохода минус величина вознаграждения агента ) при низком уровне усилий агента будет равно.

(10)

Значение функции полезности для принципала при высоком уровне усилий агента будет равно

(11)

Поскольку то, ожидаемая полезность принципала в случае высокого уровня усилий агента больше, поэтому он будет стимулировать агента выбирать высокий уровень усилий. Агент будет обеспечиваться при помощи контракта, в котором уровень усилий устанавливается равным 2 ( ) , а агент в обмен за эти усилия получает вознаграждение , обеспечивающее ему полезность равную единице , (т.е. величине альтернативной полезности равной единице). Назовем данный контракт базовым. Фактически, данный контракт предполагает наем агента только при условии определенного, а именно высокого уровня усилий, что возможно только в случае симметричной информации об усилиях.

Заметим, что если заключен контракт, в котором уровень усилий устанавливается равным 1 , а агент в обмен за эти усилия получает вознаграждение , обеспечивающее ему ту же самую полезность равную единице , т.е. агент не заинтересован в высоком уровне усилий.

Несовпадение интересов принципала и агента проявляется в том, что первый заинтересован в высоком уровне усилий агента, поскольку это положительно влияет на его ожидаемый результат (для принципала в условиях базисного контракта при его выполнении ожидаемый уровень полезности равен ). В это же время для агента уровень усилий безразличен, не смотря на зарплату, т. к. усилия отрицательно влияют на его полезность.

Асимметричная информация об усилиях

Рассмотрим ситуацию, в которой принципал не может четко отслеживать (анализировать) величину усилий агента, другими словами, усилия агента являются ненаблюдаемыми для принципала, а свои усилия агент знает сам. Т.о. существует асимметричная информация об усилиях. Проанализируем базовый контракт в новой ситуации. Значение функции полезности агента имеет следующий вид при низком уровне усилий и величине вознаграждения .

(12)

Т.е. полезность для агента при базовом контракте и низком уровне усилий агента выше, чем при базовом. В этом случае агент проявляет оппортунистичность своего поведения. Несовпадение интересов принципала и агента проявляется в том, что первый заинтересован в высоком уровне усилий агента, поскольку это положительно влияет на его ожидаемый результат, тогда как последний заинтересован в низком уровне усилий, т.к. усилия отрицательно влияют на его полезность.

Таким образом, задача заключается в нахождении таких условий контракта, которые бы максимизировали полезность принципала, одновременно стимулируя агента выбирать нужный уровень усилий. Для этого нужно решить задачу на нахождение условного максимума полезности принципала с учетом ограничений участия и самоотбора при двух уровнях усилий агента.

Чтобы добиться повышенного уровня усилий работника, необходимо изменить базовый контракт таким образом, чтобы в случае большей величины дохода фирмы зарплата работника также возрастала бы. Другими словами говоря, контракт должен быть стимулирующим, т.е. если фирме необходимо, чтобы агент постоянно работал с высоким уровнем усилий( ), то контракт должен быть таким, что ожидаемая полезность агента в этом случае была выше, чем при низком уровне усилий ( ). В этой ситуации доход работника перестает быть постоянным, а становиться рискованным (подвергается случайным воздействиям, зависящим не только от усилий агента). В этом случае агент может рассчитывать на увеличение дохода в качестве премии за риск.

Обозначим через величину заработной платы, которую получает агент при неудачном периоде для фирмы (когда у фирмы низкий уровень дохода ). Обозначим через величину заработной платы, которую получает агент при удачном периоде для фирмы (когда у фирмы высокий уровень дохода ). Вычислим ожидаемую полезность для агента в этом случае при высоком уровне усилий ( ), (при вычислении используются соответствующие вероятности, т.е. приведенные на рис.2.)

(13)

Ожидаемая полезность для агента в случае низкого уровня усилий ( ), может быть вычислена аналогично (при вычислении используются соответствующие вероятности, т.е. приведенные на рис.1.)

(14)

Легко заметить, что стимулирующая оплата работника будет действенной, если полезность в случае высокого уровня усилий определяемая соотношением (13) будет не меньше полезности в случае низкого уровня усилий, определяемой соотношением (14), т.е.

(15)

Выражение типа (15) называется ограничением совместимости по стимулам, которое представляет собой условие, ориентирующее агента на использование высокого уровня усилий. Важным является то, что полезность, получаемая агентом при выборе усилий, желательных для принципала будет не меньше полезности получаемой агентом при любых других усилиях. Т.о. агенту не выгодно проявлять свою оппортунистичность.

Заметим, что выражение (15), с учетом (13) и (14) можно преобразовать к виду

(16)

Упростив это выражение, получаем

(17)

При любом контракте должно выполняться ограничение на участие (дающее возможность агенту получить альтернативную работу),

(18)

Соотношение (18)с учетом (13) и того что

(19)

Преобразуя (19) получаем

(20)

Значение функции полезности для принципала при высоком уровне усилий агента в условиях, когда зарплата агента не постоянна, будет вычисляться с помощью соотношения

(21)

Очевидно, что для принципала ситуация будет оптимальной, когда достигает своего максимума, т.е. ему желательно найти такие и , чтобы было наибольшим. Таким образом, решение сводится к решению задачи условной оптимизации со следующей целевой функцией

(22)

Ограничения определяются условиями (17) (ограничением совместимости по стимулам),(20)( ограничение на участие), к которым следует добавить естественное ограничение – неотрицательность фазовых переменных и .

(23)

Решение нелинейной задачи определяемой соотношениями (22), (17),(20), (23) может быть упрощено путем введения новых переменных и , где и .

Целевая функция (22) примет вид (24),

(24)

Ограничение (17) преобразуется к виду

	(25)

Ограничение (20) преобразуется к виду

(26)

Ограничение (23) преобразуется к виду

(27)

Целевая функция, определяемая соотношением (24) является квадратичной, а ограничения (25),(26) и (27) - линейны, поэтому (есть основания предполагать, что ) данная задача нелинейной оптимизации является задачей квадратичного программирования. Решение этой задачи может быть получено графически.

Очевидно, что линиями уровня целевой функции (24) в пространстве координат и будут «концентрические» эллипсы, приведенные на рис.3. Соответствующие значения уровней подписаны, очевидно, что меньшим эллипсам соответствуют более высокие значения. Ограничения (25),(26) и (27) определяют треугольник, заштрихованный тройной штриховкой. Этот неограниченный треугольник определяет область допустимых решений. Очевидно, что наибольшее значение функция достигает в точке с координатами и (рис.4). Через эту точку проходит эллипс, который является линией уровня соответствующая значению , поскольку справедливо следующее соотношение.

(28)

На рис.4. линия уровня соответствующая значению , что приблизительно равно 17,3333, подписана. Точки плоскости и , которые лежат внутри этого эллипса не удовлетворяют ограничениям, а лежащие вне эллипса имеют меньшее значение целевой функции. Строгое обоснование найденного решения приведено в приложении 2.

Рис.3. Графическое решение задачи нелинейной оптимизации в координатах и

Рис.4. Графическое решение задачи нелинейной оптимизации в координатах и

Поскольку и , то равно 0, а .

Вычислим значение функции полезности для принципала при высоком уровне усилий агента ( ), при вычисленных уровнях зарплаты агента ( и ) с помощью соотношения (21)

(29)

Другим разумным вариантом контракта для принципала в случае не наблюдаемости усилий агента является назначение ему минимальной заработной платы равной единице . В этом случае полезность принципала может быть вычислена с помощью соотношения (10) и будет равна

Поскольку , то принципалу выгодней заключать стимулирующий контракт, при уровнях зарплаты агента ( и ). Заметим, что в случае не стимулирующего контракта и высокого уровня усилий агента , (что в случае не наблюдаемости маловероятно) функции полезности для принципала может быть вычислено по формуле (11) и она равна . Поскольку мы приходим к выводу, что принципал делится своей прибылью с агентом, заключая стимулирующий контракт.

Вычислим ожидаемую полезность для агента при высоком уровне усилий ( ), при вычисленных уровнях его зарплаты ( и ) с помощью соотношения (13)

Решим задачу нелинейного программирования с помощью надстройки «Поиск решения» (рис. 5-9). Для этого в ячейки D5: D6, где будут находиться значения искомых величин и , введем произвольные значения, например, все нули (рис. 5). В ячейке F14 содержится значение целевой функции, которое равно значению функции полезности для принципала при высоком уровне усилий агента, т.е. ожидаемая прибыль фирмы. В ячейке F3 содержится альтернативное значение полезности для агента.

Для удобства вычислений запишем функцию в VBA (Visual Basic for Application) MyUtil для вычисления полезности агента. При использовании этой функции на листе MS Excel эта функция будет отображаться в разделе «Определенные пользователем». Заметим, что эта функция вычисляет только значение выражения , при произвольных значениях аргументов и , но не вычисляет среднюю (ожидаемую) полезность для агента, которая наиболее интересна при решении задачи.

В ячейке F12 вычислим ожидаемую полезность для агента при высоком уровне усилий .

Рис. 5. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения данных (начало) для решения примера 1

В ячейке F22 вычислим ожидаемую полезность для агента при низком уровне усилий.

.

Рис. 6. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения данных (окончание) для решения примера 1.

Рис. 7. Фрагмент электронных таблиц MS Excel. Функция, определенная пользователем, MyUtil для вычисления полезности агента.

Рис. 8. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения формул (начало) для решения примера 1.

Рис. 9. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения формул (окончание) для решения примера 1.

Для проведения оптимизации используем надстройку «Сервис»  «Поиск решений». В диалоговом окне заполняем поля, как показано на рис. 10. Ограничение $F$12>=$F$22 отражает необходимость выполнения ограничения совместимости по стимулам (15), а ограничение $F$12>=$F$3 отражает необходимость выполнения ограничения на участие (18). Выполнение естественного ограничения (23) (неотрицательность фазовых переменных и ) ограничение обеспечивает $D$5: $D$6>=0. После выполнения оптимизации в ячейках D5: D6 будут находиться приближенные значения искомых величин и ( и ). (рис. 5). В ячейке F14 содержится ожидаемая прибыль фирмы, которая равна значению функции полезности для принципала при высоком уровне усилий агента и оптимальных значениях стимулирующего контракта, она равна 17,3333. Найденные значения величин и ( и ) и а также ожидаемой прибыли совпадает с решением найденным графически.

Рис.10. Диалоговое окно надстройки «Поиск решения» при поиске оптимальных значений стимулирующих выплат

Имитационное моделирование.

Проведем имитацию исполнения контракта при оптимальных значениях стимулирующих выплат.

Поскольку результаты деятельности фирмы в модели получены при допущении, что доход есть случайная величина, распределение которой зависит от усилий агента, необходимо имитировать её многократную реализацию. Каждая реализация соответствует малому периоду времени, по истечению которого происходит подведение итогов, с определением заработной платы агента и определением прибыли фирмы.

Исходные данные

Выбор величины дохода  будем осуществлять с помощью генератора случайных чисел, который генерирует значение случайной величины, имеющей следующее распределение:

xi	10	30
pi	1/3	2/3

Чтобы обеспечить реализацию этой случайной величины в MS Excel используем функцию СЛЧИС(), которая вычисляет значения равномерно распределенной случайной величины в интервале [0;1]. Пусть число является значением функции СЛЧИС(), тогда величина , вычисленная по правилу

будет иметь искомое распределение.

Решение приведено на рис. 11-16. На рис. 11. приведены расчеты по аналитическим формулам, (ЧЧ).

Рис. 11. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения данных. Имитационное моделирование исполнения контракта при оптимальных значениях стимулирующих выплат (начало).

Рис. 12. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения формул. Имитационное моделирование исполнения контракта при оптимальных значениях стимулирующих выплат (начало).

Сам процесс имитации реализован в строках ниже 34. Подведение итогов имитации приведено в строках 19-33. Такое расположение итогов (выше самой имитации) позволяет при необходимости увеличить количество имитируемых периодов, вставив необходимое количество строк или дописав их в конец, без сильного изменения итогов.

При имитации каждому периоду времени соответствует одна строчка таблицы. Всего промоделировано 500 временных периодов. В интервалах N34:N534 и O34:O534 содержатся реализации искомых случайных величин (равномерно распределенная случайная величина) и (доход фирмы) соответственно. В столбцах P,Q и R содержатся вычисленные значения заработной платы работника, прибыль фирмы и полезности агента.

Рис. 13. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения данных. Имитационное моделирование, многократного повторения производственного периода (продолжение).

Рис. 14. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения формул. Имитационное моделирование, многократного повторения производственного периода (продолжение).

Подведение итогов моделирования и сравнение с расчетными результатами приведено на рис.15.-16. Анализ показал, что количество неудачных и удачных периодов при 500 повторениях производственного цикла равно 162 и 338 соответственно, а доли в общем количестве повторений равны 0,324 и 0,676 соответственно. Доли незначительно отличаются от теоретических(вероятностей) , отклонения равны 2.80% и 1.4% соответственно. Это показывает что при таком количестве повторений реализация случайной величины – дохода фирмы проведена корректно.

Средние значения дохода фирмы, заработной платы работника, прибыли фирмы и полезности работника по результатам имитации находятся в интервале ячеек О27:R27 соответственно.

Сравнение этих средних значений с вычисленными значениями по основным формулам проведено в интервале ячеек О30:R30. Очевидно, что они несущественно отличаются, так отклонения лежат в диапазоне от 0,80% для величины дохода фирмы до 2,80% для полезности работника. Наличие отклонений обусловлено случайностью величины дохода фирмы. Более точные значения можно, как правило, получить, увеличив количество имитаций.

Рис.15. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения данных. Подведение итогов имитационного моделирования и сравнение с расчетными результатами (окончание).

Рис. 16. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения формул. Подведение итогов имитационного моделирования и сравнение с расчетными результатами (окончание).

Проведем имитацию исполнения контракта при отсутствии стимулирующих выплат.

Процесс имитации аналогичен случаю, рассмотренному выше за исключением того, что выплаты работнику не являются случайной величиной, а являются константой равной . В условиях не симметричности информации работник ожидаемо работает с низким уровнем усилий . Результаты расчетов приведены на рис. 17-18.

Рис. 17. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения данных. Имитационное моделирование исполнения контракта при отсутствии стимулирующих выплат (начало).

Рис. 18. Фрагмент электронных таблиц MS Excel в режиме отображения данных. Подведение итогов имитационного моделирования исполнения контракта при отсутствии стимулирующих выплат и сравнение с расчетными результатами (окончание)

Анализ показал, что количество неудачных и удачных периодов при 500 повторениях производственного цикла равно 337 и 167 соответственно, а доли в общем количестве повторений равны 0,666 и 0,334 соответственно. Доли незначительно отличаются от теоретических (вероятностей), отклонения равны 0.10% и 0.2% соответственно. Это показывает что при таком количестве повторений реализация случайной величины – дохода фирмы проведена корректно.

Средние значения дохода фирмы, заработной платы работника, прибыли фирмы и полезности работника по результатам имитации находятся в интервале ячеек C27:F27 соответственно.

Сравнение этих средних значений с вычисленными значениями по основным формулам проведено в интервале ячеек C30:F30. Очевидно, что заработная плата и полезности работника являются постоянными величинами и полностью совпадают с расчетными значениями. Величины дохода и прибыли фирмы отличаются на 0,08% и 0,09% соответственно, что можно расценить как несущественное отклонение. Наличие отклонений обусловлено случайностью величины дохода фирмы, ещё более точные значения можно, как правило, получить, увеличив количество имитаций.

Выводы.

• Сравнивая прибыль фирмы (ячейка F16) равную 15.667 в случае отсутствия стимулирующих выплат с прибылью фирмы с прибылью в случае наличия стимулирующих выплат (ячейка R16) равной 17.667, приходим к выводу, что фирме в случае несимметричности информации, выгоднее заключать стимулирующий контракт.

• Вспомним, что в самой выгодной для фирмы ситуации, когда работник прилагает усилия высокого уровня, а получает постоянную низкую зарплату, прибыль фирмы была равна 19.333. Уменьшение прибыли (в случае стимулирующего контракта) произошло потому, что, выплачивая работнику более высокую заработную плату, фирма делится прибылью с работником, а работник получает дополнительную плату за риск. Риск состоит в том, что его зарплата зависит не только от его усилий, но и других факторов.