[Править]Замечание
Формула
полной вероятности также имеет следующую
интерпретацию. Пусть 
— случайная
величина,
имеющая распределение
.
Тогда
,
Последовательность независимых испытаний
Пусть
проводится серия из n испытаний,
в каждом из которых событие А может
наступить с одной и той же вероятностью p или
не наступить с вероятностью q =
1-p,
независимо от номера испытания и
результата предыдущего опыта. Такие
серии опытов называются последовательностью
независимых испытаний или схемой
Бернулли. В связи со схемой Бернулли
рассматриваются такие задачи: 1) найти
вероятность того, что в серии из n испытаний
событие А наступит
ровно k раз: 
;
2) найти вероятность того, что в серии
из nиспытаний
событие А наступит не менее чем 
раз
и не более, чем 
раза: 
.
Указанные вероятности находят по формуле Бернулли:
Если число n велико, а p не слишком мало, то для вычисления вероятности можно воспользоваться приближенными (асимптотическими) формулами Муавра-Лапласа (локальная теорема Муавра-Лапласа; интегральная теорема Муавра-Лапласа).
Локальная теорема Муавра – Лапласа:
,
где 
и 
Интегральная теорема Муавра – Лапласа:
,
где 
.
Функции j(х) и Ф(х) табулированы, то есть таблицы значений этих функций приведены в каждом учебнике по теории вероятностей. Можно указать некоторые свойства этих функций: j(-x) = j(x); Ф(-х) = -Ф(х); Ф(0) = 0; Ф(х) ® 0,5 при х ® ¥.
Если число испытаний n велико, а вероятность появления события А в каждом испытании мала, то для вычисления вероятности появления k раз события А в серии из n испытаний можно воспользоваться формулой Пуассона
,
где 
.
Число 
успехов,
при котором достигается наибольшая из
возможных вероятностей, называется
наивероятнейшим числом успехов. Оно
определяется как целое число на
промежутке 
.
Формула Бернулли
Дискретные
случайные величины.
Рассмотрим
случайную величину * 
,
возможные значения которой образуют
конечную или бесконечную последовательность
чисел x1,
x2, ..., xn, ... . Пусть
задана функцияp(x),
значение которой в каждой точке x=xi (i=1,2,
...) равно
вероятности того, что величина
примет
значение xi
|
(16) |
Такая случайная величина называется дискретной (прерывной). Функция р(х) называется законом распределения вероятностей случайной величины, или кратко, законом распределения. Эта функция определена в точках последовательности x1, x2, ..., xn, ... . Так как в каждом из испытаний случайная величина принимает всегда какое-либо значение из области ее изменения, то
Математическое ожидание
Наиболее вероятное (ожидаемое) значение случайной величины. Если для каждого значения, принимаемого случайной величиной X известна его вероятность, то ее математическое ожидание будет равно сумме произведений каждого значения на его вероятность:
Если случайная величина является непрерывной, то вместо суммы будет использоваться интеграл, вместо вероятности – ее плотность.
Математическое ожидание является одним из важнейших понятий теории вероятности, поскольку может служить в качестве усредненной оценки случайной величины. С его помощью можно прогнозировать оценку значения некоторого случайного признака при наличии достаточно большого числа наблюдений.
Математическое ожидание иногда называют «центром тяжести» распределения случайной величины. Фундаментальным свойством математического ожидания является то, что среднее значение любой случайной величины при достаточно большом количестве опытов будет стремиться к своему математическому ожиданию. В отечественной литературе математическое ожидание обозначают M[X], иногда m(x), а в зарубежной – E(X).
Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти всюду.
Всегда найдётся такое количество испытаний, при котором с любой заданной наперёд вероятностью частота появления некоторого события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности.