Свойства линейно зависимых и линейно независимых столбцов матриц

Понятия линейной зависимости и линейной независимости определяются для строк и столбцов одинаково. Поэтому свойства, связанные с этими понятиями, сформулированные для столбцов, разумеется, справедливы и для строк.

1. Если в систему столбцов входит нулевой столбец, то она линейно зависима.

2. Если в системе столбцов имеется два равных столбца, то она линейно зависима.

3. Если в системе столбцов имеется два пропорциональных столбца , то она линейно зависима.

4. Система из столбцов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из столбцов есть линейная комбинация остальных.

5. Любые столбцы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.

6. Система столбцов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

Свойства определителей

• Определитель — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам): , где и т. д. — строчки матрицы,  — определитель такой матрицы.

• При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.

• Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

• Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

• Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).

• Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

• Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

• Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.

• Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

• Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (cм. также формулу Бине-Коши).

• С использованием индексной нотации определитель матрицы 3×3 может быть определён с помощью символа Леви-Чивита из соотношения:

• Определитель квадратной матрицы 3*3 равен ориентированному объему параллелепипеда, три ребра которого заданы векторами-столбцами матрицы.

I. Минор

Минором элемента матрицы  n-го  порядка называется определитель матрицы  (n-1)-го порядка, полученный из матрицы  А  вычеркиванием  i-й строки и  j-го столбца.

При выписывании определителя  (n-1)-го порядка, в исходном определителе элементы находящиеся под линиями в расчет не принимаются.

Пример 1. Составить минор , полученную из исходной матрицы:

Решение:

.