2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу в. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?

Вариант 8

1. Две компании А и В производят и продают очень хорошее пиво. И это единственные компании, торгующие пивом в одном небольшом городе. Ежегодно рынок этого города может поглотить ровно 4000 баррелей пива. В настоящее время на долю компании А приходится 25% объема продажи пива, а на долю компании В – остальная часть. Компания А решает начать активную рекламную компанию. В результате ежегодный объем продажи пива компанией А может возрасти на 1000 баррелей с вероятностью 3/5 и уменьшится на 1000 баррелей с вероятностью 2/5. Такой прогноз верен для тех лет, когда объем ее продажи в предшествующем году был отличен от нуля. Если же объем продажи пива падает до нуля, то компания прекращает свою деятельность в этом городе.

Определить набор состояний цепи Маркова, описывающей приведенную ситуацию, и указать соответствующие переходную матрицу и переходной орграф. Какова вероятность того, что компания А будет продавать 3000 баррелей пива через два года после начала рекламной компании?

2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу в. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?

Вариант 9

1. Происходит случайное блуждание частиц по точкам с координатами 1, 2, 3, 4 соответственно. Граничные точки и являются отражающими экранами (т.е. частица, попадая в любую из них, в следующий момент времени возвращается в соседнюю внутреннюю точку). Если частица в некоторый момент времени находится в одной из внутренних точек ( и ), то в следующий момент времени частица переходит в соседнюю справа точку с вероятностью 0,4 и в соседнюю слева точку с вероятностью 0,6.

Построить матрицу перехода и орграф. Найти предельные вероятности.

2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу в. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?

Вариант 10

1. Исследование рынка выявило характер поведения потребителей относительно трех сортов кофе А, В и С. Анализ показал, что из покупателей, предпочитающих в некотором месяце сорт А, в следующем месяце 60% покупают снова кофе сорта А, 30% переключаются на сорт В и 10% переходят к сорту С. Для сортов кофе В и С проценты переключения потребительского спроса равны: 50% от В к А, 30% от В к В, 20% от В к С, 40% от С к А, 40 % от С к В и 20% от С к С. Составить матрицу переходов и орграф.

Какова вероятность того, что покупатель через два месяца будет пить тот же сорт кофе, который он потребляет сейчас? (Предполагается, что сейчас покупатель с равной вероятностью пьет любой сорт кофе). Найти предельные вероятности.

2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу в. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?

Вариант 11

1. Предположим, что у каждого мужчины имеется только один сын. И пусть рослый отец имеет сына высокого роста с вероятностью 0,6, сына среднего роста с вероятностью 0,2 и низкорослого сына с вероятностью 0,2. Отец среднего роста имеет сына высокого роста, среднего роста или низкорослого с вероятностями 0,1; 0,7; 0,2 соответственно. Низкорослый отец имеет сына высокого, среднего или низкорослого с вероятностями 0,4; 0,2; 0,4 соответственно.

Описать матрицу переходов и составить орграф для данной цепи Маркова. Какова вероятность того, что правнук высокого мужчины будет низкого роста? Найти предельные вероятности.

2. Найти фундаментальную матрицу и матрицу в. Какую информацию о цепи Маркова содержат эти матрицы?

Вариант 12

1. В двух ячейках находятся три предмета. Каждую секунду случайным образом выбирается один из трех предметов и перекладывается из одной ячейки в другую. В качестве состояния марковской цепи рассматривается число предметов первой ячейки. Представить данную марковскую цепь в виде орграфа. Найти матрицу перехода за 2 шага. Найти предельные вероятности.