3.4 Сложное сопротивление

Задача 4.1. Для стального пространственного бруса круглого поперечного сечения требуется:

1. определить внутренние силовые факторы на каждом участке балки; построить эпюры соответствующих усилий;

2. определить размеры поперечного сечения в опасном участке балки по третьей теории прочности;

3. определить величины и построить эпюры напряжений для опасного сечения балки, возникающих от каждого действующего внутреннего силового фактора.

Дано:

1) внешние усилия

2) длины участков

3) допускаемое нормальное напряжение .

Рис. 4.1. Схема нагружения пространственной балки

Решение. 1. Исследуемый брус имеет четыре участка. Координату z откладываем от свободного конца бруса. Внутренние силовые факторы будем определять методом сечений, для чего выполняем на каждом участке бруса сечения (рис. 4.2) начиная с незакрепленного участка в сторону консольного защемления.

Рис. 4.2. Сечения участков пространственной балки

Рассмотрим первое сечение I-I (рис. 4.3). Его длина изменяется в пределе . Запишем уравнения для определения внутренних силовых факторов:

продольная сила ;

поперечная сила по оси у ;

Рис. 4.3. Первый отсечённый участок

поперечная сила по оси х ;

изгибающий момент по оси у ,

при ,

при ;

изгибающий момент по оси х ;

крутящий момент .

Рассмотрим второе сечение II- II (рис. 4.4). Его длина изменяется в пределе . Внутренние силовые факторы определятся по следующим уравнениям:

Рис. 4.4. Второй отсечённый участок

продольная сила ;

поперечная сила по оси у ;

поперечная сила по оси х ;

изгибающий момент по оси у ,

изгибающий момент по оси х ;

крутящий момент .

Рассмотрим третье сечение III-III (рис. 4.5). Его длина изменяется в пределе . Запишем уравнения для определения внутренних силовых факторов:

продольная сила ;

поперечная сила по оси у ;

поперечная сила по оси х ;

изгибающий момент по оси у ,

при ,

при ;

изгибающий момент по оси х ,

при ,

при ;

крутящий момент .

Рис. 4.5. Третий отсечённый участок

Рассмотрим второе сечение IV-IV (рис. 4.6). Его длина изменяется в пределе . Внутренние силовые факторы определятся по следующим уравнениям:

продольная сила ;

поперечная сила по оси у ;

поперечная сила по оси х ;

изгибающий момент по оси у ,

изгибающий момент по оси х ,

при ,

при ;

крутящий момент .

Рис. 4.6. Четвёртый отсечённый участок

По найденным величинам внутренних силовых факторов на каждом участке балки строим соответствующие эпюры , (рис. 4.7).

Рис. 4.7. Эпюры внутренних силовых факторов

2. Определяем диаметр бруса в опасном сечении. Анализируя эпюры, видно, что опасное сечение будет находиться на IV участке. Внутренние силовые факторы в этом сечении равны:

, , , , , .

Так как в опасном участке действуют нормальное и касательное напряжения, то для определения размеров круглого поперечного сечения необходимо воспользоваться формулой для эквивалентного напряжения по третьей теории прочности:

. (4.1)

При этом нормальное напряжение, возникающее от изгибающих моментов и , определяется по формуле:

. (4.2)

Касательное напряжение, возникающее от действия крутящего момента, определяется по формуле:

. (4.3)

Подставляя формулы (4.2) и (4.3) в формулу (4.1) для эквивалентного напряжения, получим:

. (4.4)

Далее определим величину диаметра круглого поперечного сечения балки, выразив его из (4.4):

Площадь рассматриваемой балки равна:

.

Определив размеры поперечного сечения балки по третьей теории прочности, рассчитаем величины напряжений возникающих в опасном участке балки и построим соответствующие эпюры.

Нормальное напряжение, возникающее от действия продольного усилия, будет равно:

.

Определим нормальное напряжение, возникающее от действия изгибающего момента :

.

Определим нормальное напряжение, возникающее от действия изгибающего момента :

.

Величина касательного напряжения, возникающего от действия крутящего момента, определим по формуле:

.

Касательное напряжение, возникающее от действия поперечной силы , будет равно:

.

Касательное напряжение равно нулю, так как поперечная сила равна нулю:

.

По найденным значениям напряжений в опасном сечении балки, строим эпюры напряжений (рис. 5.8).

Рис. 4.8. Эпюры напряжений

Задание 4.1. Для стального пространственного бруса круглого поперечного сечения требуется:

4. определить внутренние силовые факторы на каждом участке балки; построить эпюры соответствующих усилий;

5. определить размеры поперечного сечения в опасном участке балки по третьей теории прочности;

6. определить величины и построить эпюры напряжений для опасного сечения балки, возникающих от каждого действующего внутреннего силового фактора.

Допускаемое нормальное напряжение принять равным .

Схемы нагружения пространственной балки представлены на рис. 4.9, исходные данные к схемам указаны в таблице 4.1.

Таблица 4.1

Номер варианта
1	55	35	45	35	0,6	1	2	0,8
2	30	20	25	25	1,5	0,7	1,4	0,9
3	15	30	45	12	2	1	0,5	2
4	44	34	24	88	1,5	0,5	0,5	1
5	58	26	48	20	1,4	0,6	0,5	2
6	22	28	45	100	1,4	0,5	1	1,5
7	25	20	50	60	1,3	0,4	1,8	1,2
8	35	15	45	30	1,2	2,2	0,9	2
9	80	100	40	150	2	1,5	1,2	1,4
10	30	50	20	60	1,3	0,7	1,5	1,5
11	45	35	25	40	2	1,8	0,8	0,8
12	50	25	40	55	0,8	1,4	1,5	1,5
13	25	54	55	20	1,8	1,2	2	2
14	30	40	60	15	0,6	1,3	1,5	1,6
15	50	20	60	6	0,8	2	1,2	1,9
16	60	45	15	85	1	1,5	2	1,7
17	35	50	15	30	1,1	0,5	2	0,5
18	35	42	45	20	1,4	2	1,5	0,5
19	30	40	55	15	1	0,8	1,7	0,5
20	40	75	50	10	2	1,3	1,6	1,4

Рис. 4.9