13. Вопрос.

Под случайными величинами понимают числовые характеристики случайных событий. Другими словами, случайные величины – это числовые результаты экспериментов, значения которых которые невозможно (в данное время) предсказать заранее. Случайные величины делят на дискретные и непрерывные в зависимости от того, каково множество всех возможных значений соответствующей характеристики – дискретное или же непрерывное.

Это деление довольно условно, но полезно при выборе адекватных методов исследования.

Случайные величины можно задавать разными способами. Дискретные случайные величины обычно задаются своим законом распределения. Тут каждому возможному значению x1, x2,... случайной величины X сопоставляется вероятность p1,p2,... этого значения. В результате образуется таблица, состоящая из двух строк:

x1 x2 x3 ...

p1 p2 p3 ...

Это и есть закон распределения случайной величины. Непрерывные случайные величины законом распределения задать невозможно, так как по самому своему определению их значения невозможно перенумеровать и потому задание в виде таблицы тут исключается. Однако для непрерывных случайных величин есть другой способ задания (применимый, кстати, и для дискретных величин) –это функция распределения:

F(x)=P[X<x]

равная вероятности события [X<x], которое состоит в том, что случайная величина X примет значение, меньшее заданного числа x.

14. Вопрос.

При обработке данных используют такие характеристики случайной величины Х как моменты порядка q, т.е. математические ожидания случайной величины Xq, q = 1, 2, … Так, само математическое ожидание – это момент порядка 1. Для дискретной случайной величины момент порядка q может быть рассчитан как

Для непрерывной случайной величины

Моменты порядка q называют также начальными моментами порядка q, в отличие от родственных характеристик – центральных моментов порядка q, задаваемых формулой

15. Вопрос.

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания

Дисперсией дискретной случайной величины называют сумму квадратов отклонения значений случайной величины от своего математического ожидания. Дисперсия показывает величину разброса значений случайной величины от своего математического ожидания.

Пусть — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

D{X}=M [|X-M[X]|²] , где символ M обозначает математическое ожидание.

Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:

Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;

Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю

Д исперсия суммы двух случайных величин равна: , где — их ковариация;

17. Вопрос. Среднее арифметическое

Определение дисперсии по опытным данным. Если для какой-либо величины А непосредственным измерением получено n значений ai с одинаковой степенью точности и если ошибки величины А подчинены нормальному закону распределения, то наиболее вероятным значением А будет среднее арифметическое:

, где

a - среднее арифметическое,

n - число измерений параметра,

ai - измеренное значение на i-м шаге.

Отклонение наблюдаемого значения (для каждого наблюдения) ai величины А от среднего арифметического: ai - a.

Для определения дисперсии нормального закона распределения ошибок в этом случае пользуются формулой:

, где

2 - дисперсия,

a - среднее арифметическое,

n - число измерений параметра,

ai - измеренное значение на i-м шаге.

Среднеквадратическое отклонение

Среднеквадратическое отклонение показывает абсолютное отклонение измеренных значений от среднеарифметического. В соответствии с формулой для меры точности линейной комбинации средняя квадратическая ошибка среднего арифметического определяется по формуле:

, где

- среднеквадратическое отклонение,

a - среднее арифметическое,

n - число измерений параметра,

ai - измеренное значение на i-м шаге.