7 Переходные процессы в цепях с взаимной индуктивностью

Рассмотрим переходный процесс, возникающий при подключении воздушного трансформатора к источнику постоянного напряжения .

Для упрощения вычислений: Токи и в катушках связаны уравнениями Кирхгофа:

Начальные условия нулевые, т.е. . Принужденные составляющие токов .

Для определения корней характеристического уравнения составим главный определитель и приравняем его к нулю:

откуда находим два корня .

При этом учет индуктивной связи не увеличивает числа корней характеристического уравнения. Токи:

Чтобы вычислить постоянные интегрирования и , кроме начального значения нужно найти .

, откуда находим:

= .

При

;

= .

Отсюда находим постоянные интегрирования . Аналогично находим и токи катушек

Для сравнения на рисунке показано, как бы изменялся ток первой катушки при ее включении, если бы вторая была разомкнута (штриховая линия, при ).

В первые моменты времени после включения ток первой катушки увеличивается быстрее, чем он возрастал бы при разомкнутой второй катушке. В этом можно убедиться, подсчитав начальные значения производных в обоих случаях. При замкнутой второй катушке , как было найдено,

= , а при разомкнутой второй катушке = .

В первом случае производная больше, поэтому ток растет быстрее.

Начиная с некоторого момента времени ток растет медленнее, чем при .

7.11 Расчет переходных процессов в сложной цепи

Переходной процесс в разветвленной линейной электрической цепи описывается системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, общее решение которых находится как сумма установившейся и свободной составляющих.

Методика расчета

1. Производится расчет режима до коммутации (при ). Далее с использованием законов коммутации находятся независимые н.у.: .

2. Составляется система уравнений по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений на отдельных участках цепи.

3. Находится общее решение системы однородных дифференциальных уравнений.

4. Находим любым методом частное решение системы неоднородных дифференциальных уравнений, указанных в пункте 2.

5. Определяются зависимые н.у. для искомых функций на основании зависимых н.у. и уравнений Кирхгофа для .

6. Записывается решение в общем виде.

7. По н.у. определяются постоянные интегрирования, содержащиеся в общем решении.

Операторный метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях

Классический метод расчета п.п. требует в общем случае многократного решения системы дифференциальных уравнений для определения постоянных интегрирования по начальным условиям и определения начальных значений функций и ее производных, что представляет из себя трудоемкую и громозкую по решению задачу.

Для инженерной практики более удобным является метод решения линейных дифференциальных уравнений, при котором начальные условия включаются в исходные уравнения и для нахождения искомых функций не требуется дополнительного определения постоянных интегрирования.

В ХIX столетии в математике развивалось так называемое символическое исчисление, построенных по системе формальных операций над символом .

В числе первых работ, посвященных такому исчислению, работа русского математика М.Е. Ващенко-Захарщенко «Символические исчисления и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений».

В конце XIX века английский инженер-электрик О. Хевисайд применил символический метод решения нелинейных дифференциальных уравнений для расчета п.п. в электрических цепях. Строгое обоснование символического, или как его стали называть, операторного исчисления, было дано в двадцатых годах ХХ века.

В настоящее время формально-операционное исчисление Хевисайда вытеснено более общим и строгим методом-преобразованием Лапласа.

В основу операторного метода (ОМ) положено прямое преобразование Лапласа, с помощью которого функция времени преобразуется в функции комплексного переменного , где операции принимают более простой вид, а именно: вместо исходных дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений получаются алгебраические уравнения.

ОМ сводится к следующим этапам:

1. От искомой функции , называемой оригиналом, переходят с помощью преобразования Лапласа к функциям переменной , которую называют изображением . .

2. Дифференциальные уравнения оригиналов, преобразуются в алгебраические уравнения для изображений.

3. Полученные операторные уравнения решают относительно

4. От найденного изображения с помощью обратного преобразования переходят к оригиналу , который и является искомой функцией.