Методические рекомендации по выполнению заданий контрольной работы

Тема 1.

Предмет теории вероятностей. Случайные события. Алгебра событий. Относительная частота и вероятность случайного события. Полная группа событий. Классическое определение вероятности. Основные свойства вероятности. Основные формулы комбинаторики.

В различных разделах науки и техники нередко возникают ситуации, когда результат каждого из многих проводимых опытов заранее предугадать невозможно, однако можно исследовать закономерности, возникающие при проведении серии опытов. Нельзя, например, точно сказать, какая сторона монеты окажется сверху при данном броске: герб или цифра – но при большом количестве бросков число выпадений герба приближается к половине количества бросков; нельзя заранее предсказать результат одного выстрела из данного орудия по данной цели, но при большом числе выстрелов частота попадания приближается к некоторому постоянному числу. Исследование вероятностных закономерностей массовых однородных явлений составляет предмет теории вероятностей.

Алгебра событий

Основным «объектом» изучения классической теории вероятностей является случайное событие. События, как правило, обозначают заглавными буквами латинского алфавита: . События, которые могут произойти в результате опыта, можно подразделить на три вида:

а) достоверное событие – событие, которое всегда происходит при проведении опыта (обозначается символом );

б) невозможное событие – событие, которое в результате опыта произойти не может (обозначается символом );

в) случайное событие – событие, которое может либо произойти, либо не произойти.

Пример. При броске игральной кости достоверным событием является выпадение числа очков, не превышающего 6, невозможным – выпадение 10 очков, а случайным – выпадение 3 очков.

Основными операциями над событиями являются объединение (символ ), пересечение ( ), разность ( ).

Определение 1.1. Объединением двух событий и называют событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий и (т.е. осуществляется либо , либо , либо и одновременно). Суммой нескольких событий, соответственно, называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из этих событий.

Пример 1. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Если событие – попадание первого стрелка, а событие – второго, то объединение – это хотя бы одно попадание при двух выстрелах.

Пример 2. Если при броске игральной кости событием назвать выпадение i очков, то выпадение нечетного числа очков является объединением событий .

При описании операций над событиями желательно пользоваться диаграммой Вьена, т.е. графическим изображением событий как множеств внутри прямоугольника на плоскости. Весь прямоугольник обозначает достоверное событие. Операции над событиями соответствуют операции объединения, пересечения и разности множеств.

Назовем все возможные результаты данного опыта его исходами и предположим, что множество этих исходов, при которых происходит событие (исходов, благоприятных событию ), можно представить в виде некоторой области на плоскости. Тогда множество исходов, при которых произойдет событие , является объединением множеств исходов, благоприятных событиям или (рис. 1).

Рис.1. Объединение событий и : .

Определение 1.2. Пересечением событий и называется событие, состоящее в том, что произошло и событие , и событие . Аналогично пересечением нескольких событий называется событие, заключающееся в том, что произошли все эти события.

Пример. В примере 1 (два выстрела по мишени) событием будет попадание обоих стрелков.

Пример. Если событие состоит в том, что из колоды карт извлечена карта пиковой масти, а событие – в том, что из колоды вынута дама, то событием будет извлечение из колоды дамы пик.

Геометрической иллюстрацией множества исходов опыта, благоприятных появлению произведения событий и , является пересечение областей, соответствующих исходам, благоприятным и .

Рис.2. Пересечение событий и : .

Определение 1.3. Разностью событий и называется событие, состоящее в том, что произошло, а – нет.

Рис.3. Разность событий и : .

Введем еще несколько категорий событий.

Определение 1.4. События и называются совместными, если они могут произойти оба в результате одного опыта. В противном случае (то есть если они не могут произойти одновременно) события называются несовместными. Для несовместных событий и справедливо: .

Примеры: совместными событиями являются попадания двух стрелков в примере 1 и появление карты пиковой масти и дамы в примере 4; несовместными – события выпадения, например, одновременно числа 1 и числа 6 в примере 2.

Замечание. Одно из основных понятий теории вероятностей есть элементарное событие – это событие, которое не представимо в виде объединения других несовместных событий. Совокупность всех элементарных событий в данном испытании называется пространством элементарных событий этого испытания. Иногда элементарное событие называют элементарным исходом испытания.

Определение 1.5. Говорят, что события образуют полную группу, если в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из событий этой группы.

Пример. В примере 2 события (выпадение одного, двух,…, шести очков при одном броске игральной кости) образуют полную группу несовместных событий.

Определение 1.6. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них является более возможным, чем другое.

Примеры: выпадение любого числа очков при броске игральной кости, появление любой карты при случайном извлечении из колоды, выпадение герба или цифры при броске монеты и т.п.