Методические указания и типовые примеры решения задач по основным разделам курса Проблемы построения эконометрических моделей

Построение эконометрической модели является центральной проблемой любого эконометрического исследования, поскольку ее «качество» непосредственно определяет достоверность и обоснованность результатов анализа тенденций развития, прогнозов рассматриваемых социально-экономических процессов, а также вытекающих из них выводов, в том числе и по вопросам разработки необходимых управленческих мероприятий.

В эконометрических исследованиях обычно предполагается, что закономерности моделируемого процесса складываются под влиянием ряда других явлений, факторов. Обобщенная форма эконометрической модели, описывающей закономерности развития такого процесса, обозначенного переменной у, в зависимости от уровней, воздействующих на него внешних явлений, факторов х_i, i=1, 2,..., n, может быть представлена следующим уравнением:

y_t = f (, x_t) + _t, (1)

где f (, x_t) – функционал, выражающий вид и структуру взаимосвязей между уровнями переменных y_t и х_it в моменты времени t=1,2,...,Т (или на интервалах (t, t+1)); x_t = (х_1t,х_2t,...,х_nt) – вектор значений независимых переменных (факторов) в момент t;  = (₀,₁,...,_n) – вектор параметров модели; параметр _i выражает степень влияния фактора x_i на переменную y на всем рассматриваемом интервале (1, Т); ₀ – постоянная модели; _t – случайная ошибка модели в момент t, в отношении свойств и характеристик которой, как это будет показано далее, обычно выдвигаются некоторые дополнительные предположения.

Заметим, что в некоторых эконометрических исследованиях значения зависимой переменной y_t и факторов х_it, t=1,2,...,Т; i=1,2,...,n; отражают распределение их уровней на совокупности однородных объектов. В этом случае индекс t выражает порядковый номер объекта (территории, предприятия и т. п.), а модель (1) – распределение переменной у на совокупности однородных объектов под влиянием факторов, характеризующих их специфические свойства.

Факторы х_i, i=1,2,...,n, называют независимыми, подчеркивая их независимость от переменной у в смысле отсутствия обратного влияния у на х_i. В связи с этим факторы х_i часто именуют экзогенными (внешними) переменными, а переменную у – эндогенной (внутренней) переменной модели.

Можно выделить три основные варианта статистической интерпретации независимых переменных. Использование той или иной интерпретации значений независимых переменных эконометрических моделей, как правило, не вносит принципиальные изменения в процедуры их построения, в методы оценки их параметров, но часто сказывается на свойствах полученных результатов.

В этой связи еще раз следует отметить, что выражение (1) определяет лишь общий вид эконометрической модели. В конкретных эконометрических исследованиях могут использоваться также специальные типы моделей, каждый из которых имеет свои характерные особенности. Эти типы обычно можно классифицировать на основе двух признаков. Во-первых, по виду экзогенных факторов х_i и, во-вторых, по свойствам ошибки модели _t.

В частности, в моделях регрессии классического типа обычно используются факторы, независимые между собой и с ошибкой модели, в предположении, что ошибка модели имеет свойства «белого шума» – процесса с нулевым математическим ожиданием, постоянной конечной дисперсией и нулевой корреляцией между ее разновременными значениями (рядами _t и _t–1, _t и _t–2 и т. д., t=1,2,...,Т). Это означает, что в ряду ошибки _t отсутствуют автокорреляционные связи.

В моделях с лаговыми независимыми переменными в качестве факторов используются разновременные значения хотя бы одной из переменных х, т. е. значения х_it, х_i,t–1, х_i,t–2,... Аналогично в моделях с лаговыми зависимыми переменными в качестве экзогенных факторов рассматриваются значения переменной у в прошедшие моменты времени, т. е. значения у_t–1, у_t–2,...

Кроме того, модели могут различаться и по свойствам их ошибок. Ряд ошибки может иметь свойства процесса «белого шума», характеризоваться непостоянством дисперсии на различных участках интервала t=1,2,...,Т, наличием автокорреляционных связей между соседними значениями _t и _t–1 и т. д. Наконец, ошибка может характеризоваться корреляционными связями с экзогенными переменными х_it, как это имеет место, например, в системах эконометрических моделей, а также обладать другими специфическими свойствами.

В моделях с главными компонентами факторы формируются как линейные комбинации первоначально выбранных экзогенных переменных, т. е. фактор , где b_ij – коэффициенты.

Специальные типы эконометрических моделей временных рядов (стационарных и нестационарных), получившие широкое применение в исследованиях динамики финансовых показателей и ряда других явлений, описывают процессы, тенденции которых предопределены их внутренними закономерностями. В таких моделях в качестве факторов обычно используются либо прошлые значения независимой переменной у_t–1, у_t–2,..., либо значения ошибки _t–1, _t–2,..., либо те и другие совместно.

К особым типам моделей относятся и системы взаимозависимых эконометрических уравнений, которые характеризуются следующими особенностями. Во-первых, как это следует из названия, такие модели состоят из нескольких уравнений типа (1), в каждом из которых используется своя зависимая переменная у_it. Во-вторых, зависимая переменная, например, i-го уравнения выступает уже в качестве независимого фактора в других уравнениях системы. Присутствие таких переменных в системе уравнений делает их взаимозависимыми между собой, что, в свою очередь, предопределяет наличие у таких систем особых свойств.

Модели могут различаться и по характеру связей факторов с переменной у. По этому признаку их разделяют на линейные и нелинейные.

Эконометрические модели могут также различаться по свойствам своих параметров (модели с постоянной и переменной структурой) и целому ряду других признаков.

Характерной особенностью эконометрического исследования является то обстоятельство, что зачастую априорно, наиболее подходящий для рассматриваемого процесса тип модели определить не представляется возможным. Однако, при этом, как правило, на основе содержательного анализа рассматриваемого явления обычно удается выделить приемлемые его альтернативные варианты и сформировать их исходные предпосылки. По результатам этапов эконометрического исследования эти варианты уточняются, и среди них выбирается тот, который в большей степени соответствует рассматриваемому процессу, явлению.

В общем случае процедуру построения эконометрической модели можно разделить на несколько взаимосвязанных между собой этапов. Основные среди них имеют следующее содержание.

1. Анализ специфических свойств рассматриваемых явлений и процессов и обоснование класса моделей, наиболее подходящих для их описания.

Отметим, что в общем случае целями этого этапа являются:

1.1. Выбор рационального состава включаемых в модель переменных и определение количественных характеристик, отражающих их уровни в прошлые периоды времени (на однородных объектах некоторой совокупности – территориях, предприятиях и т. п.).

1.2. Обоснование типа и формы модели, выражаемой математическим уравнением (системой уравнений), связывающим включенные в модель переменные.

2. Оценка параметров выбранного варианта модели на основании исходных данных, выражающих уровни показателей (переменных) в различные моменты времени или на совокупности однородных объектов.

3. Проверка качества построенной модели и обоснование вывода о целесообразности ее использования в ходе дальнейшего эконометрического исследования.

4. При выводе о нецелесообразности использования построенной эконометрической модели в дальнейших исследованиях следует вернуться к первому (или какому-либо другому этапу) и попытаться построить более качественную модификацию модели (другой вариант модели).

Совокупности методов содержательного анализа и методов количественного анализа используются, дополняя друг друга, но с разными «удельными весами», на всех этапах построения моделей. При этом несомненно, что центральное место в эконометрическом исследовании занимает этап оценки параметров модели. По его результатам конкретизируется ее уравнение, полученные оценки параметров которого играют ведущую роль и при проверке качества модели и при обосновании направлений ее дальнейшей модификации. Основную нагрузку на этапе оценки параметров модели несут методы теории вероятностей и математической статистики, которые имеют определенные специфические особенности в зависимости от типа рассматриваемой модели.

Вообще говоря, выделенные этапы построения моделей достаточно условны. Состав используемых на них процедур, приемов и методов, их очередность зависят от типа разрабатываемой эконометрической модели, особенностей исследуемых процессов, свойств исходных данных и т. п.

Основные подходы к решению проблем первого этапа исследования в значительной степени базируются на методах содержательного анализа закономерностей рассматриваемых процессов, подкрепляемых по мере необходимости методами общей и математической статистики.

Дело в том, что в практических исследованиях на предварительном этапе вид функционала эконометрической модели (1) и точный состав включенных в нее факторов могут быть априорно не известны. Часто имеются несколько альтернативных их вариантов, среди которых необходимо выбрать наиболее приемлемый. При этом приемлемость может отражать как требования экономической теории, так и необходимые ограничения по точности аппроксимации функционалом f (a, x_t) исходного ряда зависимой переменной y_t, t =1, 2,..., Т.

В этой связи, прежде чем подойти к решению задач первого этапа, необходимо сформировать хотя бы предварительные исходные предпосылки относительно конкретного состава независимых переменных х_i, вида функционала, связывающего их с зависимой переменной у. При этом исследователь может использовать различного рода теоретические гипотезы, как экономического, так и математического содержания в отношении вида функционала, свойств процессов y_t , х_it и  _t.

Состав переменных х_i и форма функционала f могут отражать либо экономическую концепцию, лежащую в основе взаимосвязи между зависимой и независимыми переменными, либо эмпирические (т. е. выявленные в ходе конкретных исследований) взаимосвязи между ними.

Исходными данными, необходимыми для построения эконометрической модели, являются известные наборы (массивы) значений зависимой переменной у и независимых факторов х_i. При этом могут использоваться два принципиально различных типа исходных информационных массивов – статический и динамический.

Статический массив представляет собой значения результирующей (зависимой, объясняемой и т.п.) переменной у и влияющих на нее факторов (независимых, объясняющих переменных) х_i, имевших место у объектов однородной совокупности в определенный период времени. Примером таких объектов являются однотипные промышленные предприятия (заводы одной отраслевой направленности). В качестве у в практических исследованиях часто рассматриваются показатели производительности труда, объемов выпускаемой продукции и некоторые другие. В качестве х_i – влияющие на уровень этих показателей факторы – объемы используемых фондов, численность и квалификация рабочей силы и т.п.

Приведем другой пример статической информации, характерной для социальных исследований. В качестве у рассматриваются показатели заболеваемости (смертности) населения в регионах страны. Их уровень в каждом из регионов определяют значения независимых факторов, отражающих достигнутый материальный уровень жизни, климатические условия, состояние окружающей среды и т. п. В этом случае необходимая для построения эконометрической модели информация собирается по совокупности регионов страны за фиксированный промежуток времени (год).

В общем случае будем считать, что необходимая для построения эконометрической модели базового типа (1) статическая информация выражается следующими массивами взаимосоответствующих наборов данных:

y₁  х₁₁ х₂₁ ... х_i1 ... х_n1 ;

y₂  х₁₂ х₂₂ ... х_i2 ... х_n2;

— — — — — — — — —

y_j  х_1j х_2j ... х_ij ... х_nj;

— — — — — — — — —

y_N  х_1N х_2N ... х_iN ... х_nN,

где y_j – уровень зависимой переменной на j-м объекте совокупности; х_ij – уровень фактора i-го фактора на j-м объекте совокупности; i=1,2,...,n; j=1, 2,..., N.

В общем случае эконометрическая модель, использующая динамическую информацию, связывает значения некоторой зависимой переменной y_t в моменты времени t cо значениями независимых переменных (факторов) х_it, рассматриваемых в те же моменты времени (или в предшествующие), t=1,2,...,Т. Такая информация может отражать, например, уровни производительности труда на одном из заводов и определяющих их значения факторов в последовательные периоды времени.

Исходная информация для построения эконометрических моделей может быть и смешанного типа. Например, она выражает уровни интересующих переменных по группе заводов за ряд лет.

Несложно заметить, что принципиального различия между статическим, динамическим и смешанным массивами не существует. Индекс t, в частности, может обозначать единицу совокупности (объект), так что набор y₁, y₂,..., y_T может рассматриваться как выборка из Т заводов (регионов) и наоборот, индекс j=1, 2,..., N может обозначать время. Это же относится и к независимым переменным х_ij и х_it. Вследствие этого в дальнейшем при изложении материала для определенности будем использовать динамические индексы.

При формировании исходной информации для эконометрической модели чрезвычайно важной проблемой является выбор показателей, адекватных сущности исследуемых явлений. И здесь следует обратить внимание на определенную подмену понятий, которая обычно происходит на первом этапе построения модели при переходе от содержательного анализа явлений к формированию отражающих их уровни количественных характеристик (показателей).

В ходе содержательного анализа явление часто рассматривается на качественном уровне. При этом специалисты оперируют достаточно обобщенными понятиями, например, заболеваемость, уровень медицинского обслуживания, качество и уровень жизни, климат, качество рабочей силы и т. п. В этой связи, заметим, что часто эконометрическая модель строится именно для выражения закономерности, существующей между явлениями. Однако при построении модели используется исходная информация, наборы показателей, которые выражают эти явления, их свойства, тенденции в виде количественных характеристик. Вследствие этого желательно, чтобы такое выражение было в некотором смысле как можно более точным.

Для традиционных направлений исследований проблема обоснования состава показателей обычно считается решенной. Например, в исследованиях производительности труда, макроэкономическом анализе обычно рассматриваются уже устоявшиеся наборы показателей, значения которых публикуются в статистических сборниках, научных отчетах и т. п. Их примером являются выработка на одного работающего (показатель, выражающий явление производительность труда), объемы ВВП (показатель результативности экономики), объем основных фондов (показатель уровня материальной обеспеченности производственного процесса, экономики) и т.д.

Вместе с тем, в ряде областей эконометрических исследований такие системы показателей не могут быть сформированы столь однозначно. Часто одно и то же явление может быть выражено альтернативными вариантами показателей. Например, общий показатель заболеваемости в регионе за год может быть выражен суммарным числом заболеваний населения в течение этого периода времени. С другой стороны, в качестве меры заболеваемости может выступать и показатель, выраженный в виде суммарного количества дней продолжительности болезней.

Однако в обоих этих случаях не учитывается степень тяжести болезни. Попытка такого учета приводит к необходимости расчета средневзвешенного показателя заболеваемости, но здесь сразу возникает проблема обоснования адекватных весов. Тяжесть болезни может определяться, например, по степени ее опасности, рассчитываемой как доля обусловленных ею смертных случаев в общем их количестве; на основании субъективного показателя дискомфортности состояния больного и т. п.

Аналогичные проблемы должны быть решены при обосновании показателей климата. Для этих целей обычно используются средняя температура воздуха, влажность, число солнечных дней в году и т. п., а также построенные на их основе некоторые комплексные характеристики.

Заметим, что в отсутствие объективных данных в эконометрических исследованиях допускается замена одного показателя другим, косвенно отражающим то же явление. Например, среднедушевой доход как показатель материального уровня жизни может быть заменен на среднегодовой товарооборот на одного жителя региона и т. п.

Неправильный выбор показателя, представляющего рассматриваемое явление в модели, может существенно повлиять на ее качество. В этой связи к проблеме обоснования состава показателей (переменных) эконометрической модели на практике следует относиться с предельным вниманием.

Предположим, что общее число независимых факторов, которые целесообразно включить в модель, равно n_i, i=1,2,...,n, и на основе измеренных значений всех переменных в моменты времени t=1,2,...,T был сформирован массив исходных данных, который будет рассматриваться в качестве информационной основы для построения эконометрической модели.

Данный массив образован вектором-столбцом значений зависимой переменной y = (y₁, y₂, ..., y_T) и матрицей значений независимых переменных

Х =

размерностью Tn, таким образом, что каждому элементу y_t вектора y соответствует строка матрицы Х.

Рассматривая проблему выбора конкретного вида функционала f (,x_t) из выражения (1) заметим, что в практике эконометрических исследований используется достаточно широкий круг функциональных зависимостей между переменными. Наиболее часто используемые их виды: линейная, правая полулогарифмическая, степенная, гиперболическая, логарифмическая гиперболическая, обратная линейная (функция Торнквиста), функция с постоянной эластичностью замены, экспоненциальная функция. На практике могут встретиться и комбинации рассмотренных зависимостей.

Здесь необходимо отметить, что большинство функций f (,x_t) с помощью определенного набора преобразований могут быть приведены к линейной форме.

Во многих практических исследованиях столь строгие теоретические концепции, предварительные допущения о содержательных сторонах взаимодействия между явлениями отступают на второй план. Для них главным является построение уравнения, достаточно точно выражающего взаимосвязи, адекватные тенденциям изменений переменных у и х_i, i=1, 2,...,n; на временном интервале (1,Т). Более того, часто именно удачная форма уравнения эконометрической модели кладется в основу разрабатываемой теоретической концепции, которая затем находит свое применение в последующем анализе. Очевидно, что наиболее подходящая форма обеспечивает наилучшее приближение теоретических (расчетных) значений = f (a, x_t) к действительным значениям у_t.

Обычно выбор такой формы осуществляется на основе графического анализа тенденций развития соответствующих процессов. Например, если переменная y и переменная х_i изменялись во времени согласно графикам, представленным на рис.1, то логично предположить, что у ~1 / х_it .

y х_i

t t

Рисунок 1. График функции у ~ 1 / х_it

Для графиков, представленных на рис.2, характерной является логарифмическая зависимость у_t ~ ln х_it.

y х_i

t t

Рисунок 2. График функции у_t ~ ln х_it

В этих и во многих других случаях, как правило, в качестве функции f(,x_t), выражающей взаимосвязи между включенными в модель независимыми переменными х_i, i=1,2,...,n, выбирается либо линейная форма, либо степенная.