1. Случай известных отклонений

      Предположим, что нам известны значения среднеквадратических отклонений. Такое предположение для эконометрической практики не является реалистичным, но позволяет проиллюстрировать коррекцию гетероскедастичности. Соответствующая процедура, названная взвешенной суммой наименьших квадратов, является частным случаем более общего эконометрического метода, названного обобщенным методом наименьших квадратов.

      Процедура взвешенной оценки, подобная методу максимального правдоподобия, наилучшим образом иллюстрируется на модели парной регрессии.

Соответствующая оценка получается минимизацией функции

где - оценки неизвестных параметров модели. Если вместо известных величин X и Y модели взять их отклонения от среднего: , то минимизируемую функцию можно записать так:

Вычисляя оценки методом наименьших квадратов, находим, что

      Так, эта процедура оценки предполагает коррекцию исходных данных, и затем оценивание скорректированной модели обычным МНК.

Замечаниe.

• В случае множественной модели для коррекции исходных данных применимы выражения:

Первоначальная модель примет вид:

Преобразованная модель имеет постоянные (гомоскедастичные) остатки:

Следовательно, модель (13) удовлетворяет всем условиям классической модели, и, следовательно, по теореме Гаусса-Маркова, оценки параметров, полученные обычным МНК, будут наилучшими.

      Применение такой процедуры коррекции модели ограничивается тем, что стандартные отклонения ошибок почти всегда заранее неизвестны. Фактически, взвешенный МНК требует знания относительной величины отклонения ошибки. Однако, во многих ситуациях, в которых неизвестен относительный разброс ошибки, полезно рассмотреть частный случай, когда исходная информация позволяет определить истинную величину отклонения ошибки.

2. Отклонения ошибки сильно коррелируют с независимой переменной

      Возможно существование некоторого соотношения между дисперсией ошибки и значением какой-либо объясняющей переменной в регрессионной модели. Например, возможно, что

где С – ненулевая константа и X_2i- значение объясняющей переменной Х₂ в i-ом наблюдении. Регрессионная модель выглядит следующим образом:

      В случае такого соотношения (как соотношение (14)), можем считать стандартные отклонения ошибки известными. Исходя из этого, преобразуем уравнение (15) (постоянная величина С не влияет на взвешенную процедуру оценки):

Преобразованная модель:

Можем утверждать, что модель (16) гомоскедастична, так как

      Практически, из исходных данных исключается переменная, корректирующая случайный член. Затем из преобразованной модели возможно исключение какого-либо еще члена до тех пор, пока ошибка не станет гомоскедастичной.

      Оценки, полученные методом наименьших квадратов для модели (16), являются эффективными, так как эта модель удовлетворяет всем условия теоремы Гаусса-Маркова.

Автокорреляция

Причины возникновения автокорреляции

Автокорреляция обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов. Естественно, что при создании модели разработчик не в состоянии учесть все факторы, влияющие на зависимую переменную. Воздействию этих неучтенных факторов подвергается случайный член e уравнения регрессии. Для того, чтобы выполнялось третье условие Гаусса-Маркова, т.е. , необходимо, чтобы “скрытые” в факторы тоже были некоррелированные со своими значениями в предыдущих наблюдениях.

       Естественно, что в большинстве реальных экономических задач условие некоррелированности ошибок невыполнимо. Предположим, вы оцениваете уравнение спроса на мороженное по ежемесячным данным, и что состояние погоды является единственным важным фактором, "скрытым " в . Вероятнее всего, у вас будет несколько последовательных наблюдений, когда теплая погода способствует увеличению спроса на мороженное (т.е. -положительно), и после этого несколько последовательных наблюдений, когда ситуация складывается противоположным образом ( -отрицательно), после чего идет еще один ряд теплых месяцев и т.д. Если предположить, что доход от продажи мороженного в целом возрастает, то схема наблюдений может быть следующей:

      

Рис.1.Зависимость объема продаж мороженного от дохода от продаж.

      При обозначении объема продаж через y и дохода через x будет иметь место трендовая зависимость, отражающая рост объема продаж мороженного: .Фактически, наблюдения будут сначала находиться выше линии регрессии, потом ниже, потом опять выше.

      Изменение экономической ситуации часто приводят к похожим результатам, особенно наглядным в макроэкономических процессах. Такие же примеры можно найти в литературе о циклах деловой активности.

      Важно отметить, что автокорреляция представляет тем меньшую проблему, чем больше временной интервал между наблюдениями. Так, в примере с мороженным если наблюдения производятся ежегодно, а не ежемесячно, то мало вероятно, что совокупное влияние погодных условий одного года будут коррелировать с таким же влиянием другого года.

      Теперь рассмотрим некоторую классификацию автокорреляционных процессов.

      Положительная автокорреляция подразумевает, что за положительным значением ошибки в момент времени t скорее всего последует положительное ошибки значение в момент времени (t+1), а за отрицательным значением - скорее всего последует отрицательное значение ошибки.

      При положительной автокорреляции линия, соединяющая точки наблюдений редко пересекает истинную линию регрессии. Так, пример с мороженным (рис.1) иллюстрирует как раз положительную автокорреляцию.

      Положительная автокорреляция наиболее часто встречается в экономических задачах.

      Отрицательная автокорреляция означает, что за положительным значением ошибки скорее всего последует отрицательное, а за отрицательным значением ошибки вероятнее всего последует положительное значение. При отрицательной автокорреляции линия регрессии пересекается значительно чаще, чем при положительной (рис.2).

      

      

Рис.2 .Отрицательная автокорреляция.

      В экономике отрицательная автокорреляция относительно редко. Однако иногда она появляется при преобразовании первоначальной спецификации модели в форму, подходящую для регрессионного анализа.

      Теперь, при рассмотрении автокорреляции будем предполагать, что мы имеем дело с данными временных рядов. Поэтому номер наблюдения будем обозначать через t, а объем выборки через Т.

Проблема автокорреляции

Для простоты и наглядности будем рассматривать модель с единственной объясняющей переменной.

      

      Ошибки коррелированы, а именно

      Такое соотношение ошибок называется автокорреляционным процессом первого порядка.

      Некоторый параметр будем называть коэффициентом автокорреляции или коэффициентом авторегрессии.

      Случайная величина нормально распределена с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией .

      Для полного описания модели необходимо определить . Будем считать, что - нормальная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией , не зависящая от . Почему имеет такие параметры, станет ясно чуть ниже.

      Выясним математический смысл некоторого параметра .

      Возьмем математическое ожидание от обеих частей уравнения (4.2).

      

      Таким образом, получаем, что . Это верно только при .

      Заметим, что и независимы, т.к. выражается через (см. (4.2)).

      Поэтому

      

.

      Найдем .

      

      Аналогично можно показать, что .

      Именно поэтому мы выбрали параметры такие, о которых говорилось выше.

      Теперь умножим (4.3) на и воспользуемся независимостью и . Получим

      

      Аналогично можно вывести общую формулу ковариации ошибок

      

      Таким образом последовательность ошибок модели образует стационарный случайный процесс, т. е. математическое ожидание, дисперсия и ковариации не зависят от момента времени t. Именно получением стационарности диктовался выбор параметров начальной величины .На самом деле с течением времени зависимость от быстро уменьшается, поэтому часто в литературе проблему начальных условий для не рассматривают, предполагая, что процесс (4.2) при любом начальном значении быстро сходится к стационарному.

      Из формулы (4.4) следует математический смысл коэффициента автокорреляции. есть коэффициент корреляции между двумя соседними ошибками. Из этого следует, что .

      Известно, что для оценки параметров регрессии, в данном случае и , используется метод наименьших квадратов МНК. МНК-оценки несмещены и эффективны для модели, удовлетворяющей всем условиям Гаусса-Маркова. Наша модель не удовлетворяет условию некоррелированности ошибок.

      Можно ли оценить параметры модели с автокоррелированными ошибками методом наименьших квадратов? Оказывается можно, но при применении МНК к модели с автокоррелированными ошибками несмещенность и состоятельность оценок сохраняется, но оценки становятся неэффективными.

      Рассмотрим это подробнее.

      Как известно МНК-оценки для модели с одной объясняющей переменной вычисляются следующим образом:

      

      Здесь и далее сами параметры будем обозначать греческими буквами, а их оценки- латинскими. Т.е. b – это оценка параметра регрессии , а a – оценка параметра .

      Мы не будем доказывать несмещенность и состоятельность МНК-оценок по отношению к автокорреляционной модели. Это доказательство распространено в литературе.

      Рассмотрим эффективность МНК-оценок. Известно, что при применении МНК-метода к модели с автокоррелированными ошибками оценка дисперсия ошибок занижена, например в 4,56 раз при =0,8. Доказательство этого факта можно найти в Приложении 1.1.

      Итак, применение МНК к автокоррелированной модели приводит к неправомерному занижению оценки дисперсии ошибок. Поэтому, наша оцененная по МНК модель будет слишком оптимистичной. Стандартные отклонения параметров регрессии, естественно, при применении МНК будут необоснованно высокими. Это может служить первым сигналом того, что в вашей модели есть автокорреляция ошибок. Другим, более формальным методом обнаружения автокорреляции первого порядка служит тест Дарбина-Уотсона. О нем будет рассказано в следующей главе.

Обнаружение автокорреляции первого порядка: критерий Дарбина-Уотсона

 Как и в предыдущей главе, будем рассматривать модель с единственной объясняющей переменной, в которой ошибки подвержены автокорреляции первого порядка.

      Очевидно, что если коэффициент автокорреляции положительный, то в модели существует положительная автокорреляция, если отрицательный, то отрицательная. Если , то третье условие Гаусса-Маркова выполнено, и в модели нет автокорреляции.

      Мы не располагаем способами измерения случайного члена, поэтому не можем оценить регрессию непосредственно. Тем не менее, мы можем оценить путем оценивания регрессионной зависимости остатков с использованием обычного МНК. При этом оценка равна

      

      Так как среднее значение N ошибок равно нулю, то и . Кроме того, .

      Таким образом, получим оценку коэффициента автокорреляции

      

      Широко известная статистика Дарбина-Уотсона имеет следующий вид:

      

      Можно показать, что в больших выборках (См. Приложение 1.2).

      Следовательно, если автокорреляция отсутствует, то , и значение DW должно быть близким к 2. При наличии положительной автокорреляции DW, вообще говоря, будет меньше 2; при отрицательной автокорреляции DW будет превышать 2. Так как значение находится между –1 и 1, то значение DW должно лежать между 0 и 4.

      Критическое значение DW при данном уровне значимости зависит от количества объясняющих переменных в уравнении регрессии и от количества наблюдений. К сожалению, оно зависит еще и от конкретных значений, принимаемых объясняющими переменными. Вы это сможете пронаблюдать, выполняя самостоятельную работу. Поэтому невозможно составить таблицу с точными критическими значениями для всех возможных выборок. Но можно вычислить верхнюю и нижнюю границы для критического значения DW. Для положительной автокорреляции границы критического значения обычно обозначаются du и dl соответственно.

      На рисунке 3 данная ситуация представлена графически.

      

      

Рис. 3. Расположение критического уровня DW-статистики

      Стрелка показывает критическое значение DW, обозначенное как DWкрит. Если бы мы знали значение DWкрит, то могли бы сравнить с ним значение DW, рассчитанное для нашей регрессии. Если бы оказалось, что , то мы не смогли ба отклонить нулевую гипотезу об отсутствии автокорреляции, т.е. ошибки бы были некоррелированы. Если бы , то мы бы отклонили нулевую гипотезу и сделали вывод о наличии автокорреляции.

      Вместе с тем мы знаем, что DWкрит находится где-то между dl и du. Это предполагает наличие трех возможностей:

1. Величина DW меньше dl. Тогда она также меньше, чем DWкрит. Поэтому мы сделаем вывод о наличии положительной автокорреляции первого порядка.

2. Величина DW больше du. Тогда она также больше, чем DWкрит. Поэтому мы сделаем вывод об отсутствии положительной автокорреляции первого порядка.

3. Величина DW находить между dl и du. В этом случае она может быть как меньше, так и больше критического уровня. В таком случае определенных выводов о наличии/отсутствии автокорреляции первого порядка сделать нельзя.

      В приложении 2.1 приведены значения dl и du для регрессии с одной объясняющей переменной при уровне значимости 5%.

      Заметим, что при увеличении числа наблюдений промежуток неопределенности уменьшается. Проверка на наличие отрицательной автокорреляции проводится по аналогичной схеме, причем зона, содержащая критический уровень, расположена симметрично относительно 2.

      

      

Рис.4. Расположение критического значения DW при отрицательной автокорреляции.

      Итак, подведем итоги.

      

      Под словами “с некоторой вероятностью” подразумевается уровень значимости, с которым применялся тест. Напомним, что в Приложении 2.1 уровень значимости-95%. Это означает, что например, при попадании значения DW в зону от 0 до dl с вероятностью 95% в модели есть положительная автокорреляция первого порядка.

      Наглядно возможные результаты теста представлены на рисунке 5.

      

      

Рис.5.Интерпретация результатов теста Дарбина-Уотсона при некотором уровне значимости.

Исправление автокорреляции

 Иногда автокорреляцию можно устранить определением ответственного за нее фактора. Т. е. разработчику модели удается найти факторы, скрытые в ошибках . В таком случае необходимо включить в модель новые объясняющие переменные, и, возможно, проблема автокорреляции будет решена.

      В других случаях процедура, которую следует принять, будет зависеть от характера зависимости между значениями случайного члена. Чаще всего описывается процедура избавления от автокорреляции первого порядка, т.к. она довольно часто встречается. В более сложных моделях встречаются другие виды автокорреляции, но здесь мы их рассматривать не будем.

      Итак, рассмотрим модель, описанную в пункте 4.2 формулами (4.1) и (4.2).

      Наблюдения в моменты времени t и t-1 формируются соответственно

      

      Теперь домножим на обе части уравнения (4.11). Получим

      

      Вычтем из уравнения (4.10) уравнение (4.12).

      Получим

      

      Переобозначим:

      Следует отметить, что величина , а -нормально распределенная величина с параметрами .

      Таким образом, мы перешли к модели с некоррелированными ошибками.

      

       К такой модели можно корректно применять МНК. Обратите внимание, если в модели (4.1) к объясняющей переменной X мы добавляли еще одну- вектор, состоящий из единиц, и получали МНК-оценки по формулам (4.6), то теперь в модели (4.13) вместо вектора единиц мы имеем вектор, состоящий из . Поэтому формулы МНК-оценки для такой модели отличаются от (4.6). Вывод этих формул можно посмотреть в Приложении 1.3.

      Здесь мы приведем готовые формулы.

      

      Теперь, если мы знаем значение коэффициента автокорреляции , то можем вычислить значения и q. Потом оценим полученную модель вида (4.13) по МНК и получим оценки параметров регрессии, не связанных с проблемой автокорреляции, поскольку значения не зависят друг от друга.

      Остается одна проблема. Если в выборке нет данных, предшествующих первому наблюдению, то и вычислить нельзя. Это означает, что мы потеряем первое наблюдение, и, следовательно, число степеней свободы уменьшится на единицу. Тогда мы можем потерять единообразие данных и потерять эффективность метода, особенно в малых выборках.

      Эту проблему решают с помощью поправки Прайса-Уинстена. Случайный член не зависит от значений в любом предыдущем наблюдении. В частности, величины не зависят от . Значит, при устранении автокорреляции все наблюдения преобразуются, кроме первого. Можно включить первое наблюдение в схему без изменений. Но теоретическая дисперсия в первом наблюдении будет отличаться от теоретической дисперсии во всех остальных наблюдениях.

      

      Значит,

      Получается, если значение велико, то первое наблюдение оказывает слишком большое влияние на результаты оценки. Если мы “учтем” первое наблюдение с весом , то случайный член в первом наблюдении примет вид . Дисперсия этой величины равна , т.е равна дисперсии случайного члена во всех остальных наблюдениях.

Методы оценивания коэффициента автокорреляции

 Из предыдущей главы становится ясно, что для исправления автокорреляции необходимо знать значение коэффициента автокорреляции. На практике мы редко встречаемся с задачами, в которых известно. Но если мы сможем оценить , то можно применять метод, описанный в пункте 4.4.

      Методов, используемых для оценки коэффициента автокорреляции несколько. Как правило, они имеют итеративный характер.

       Остановимся на двух: метод Кохрана-Оркатта и метод Хилдреда-Лу. Мы не будем устанавливать сходимость процедур, практика их применения показала, что они достаточно эффективны.

      Процедура Кохрана-Оркатта.

      Начальным шагом этой процедуры является применение обычного МНК к исходной системе (4.1) и получение соответствующего вектора остатков e=(e1…eN). Далее,

1. В качестве приближенного значения берется его МНК-оценка в регрессии

2. Проводится преобразование к виду (4.13) при и находятся МНК-оценки параметров

3. Строится новый вектор остатков e'=(e'1…e'N).

4. Процедура повторяется с п.1.

      Процесс останавливается когда оценки на последнем и предпоследним циклах не совпадут с заданной степенью точности. Иногда для остановки процедуры просто фиксируют количество итераций.

      Отрицательной чертой этого метода является возможность попадания в локальный минимум.

      Процедура Хилдреда-Лу.

      Суть процедуры очень проста. Из интервала (-1;1) возможного изменения коэффициента берут последовательно некоторые значения (например, числа с постоянным шагом 0.1 или 0.05) и для каждого из них проводится оценка преобразованной системы (4.13). Определяется то значение , для которого сумма квадратов отклонений в (4.13) минимальна. Затем в некоторой окрестности этого значения устраивается более мелкая сетка и процесс продолжается. Итерации заканчиваются, когда будет достигнута желаемая точность.

      Время работы процедуры значительно сокращается, когда есть априорная информация об области изменения параметра .

      В отличии от процедуры Кохрана-Оркатта данный метод не может завести в локальный минимум, полученная оценка параметра автокорреляции будет всегда искомой по завершении процедуры с некоторой заданной точностью.

Автокорреляция как следствие неправильной спецификации модели

 Автокорреляция в модели регрессии формально вызывается зависимостью между значениями случайного члена в выборке. Но этот вопрос можно рассмотреть более глубоко. Причиной наличия случайного члена может быть какая-нибудь неточность в спецификации модели. Например, пропуск важной объясняющей переменной или использование неправильной математической функции. Следовательно, автокорреляция нередко может объясняться неправильной спецификацией модели. В этом случае лучше вместо использования “механической” процедуры исправления автокорреляции непосредственно попытаться устранить ошибки в спецификации.

      Как один из случаев неправильной спецификации модели рассмотрим неправильную спецификацию переменных. Это означает, что вместо динамической модели могла быть применена статическая, т.е. в модели не отражена структура запаздывания.

      Мы уже говорили о том, что автокорреляцию вида (4.2) можно устранить путем приведения модели к виду (4.5). Это можно записать таким образом:

      

      Фактически, мы оцениваем регрессионную зависимость , при этом требуя, чтобы коэффициент при был равен произведению коэффициентов при двух других переменных в правой части уравнения (4.15).Такое уравнение назовем вариантом с ограничениями. Заметим, что уравнение (4.15) не линейно по параметрам, поэтому обыкновенный МНК для оценки параметров неприменим. Вместо него можно применить, например, нелинейный МНК. Суть его заключается в минимизации суммы квадратов ошибок по оцениваемым параметрам. Пример применения нелинейного МНК будет дан в следующей главе. Кроме нелинейного МНК в таком случае применим метод Кохрана-Оркатта, о котором говорилось в пункте 4.4.

      В целом мы не имеем права заранее утверждать, что ограничение (чтобы коэффициент при был равен произведению коэффициентов при двух других переменных в правой части уравнения (4.15).) обосновано. Кроме того мы должны проверить все ограничения. Поэтому мы вводим другую модель.

      

      и проверяем равно ли величине . (4.16) назовем вариантом без ограничений. Если это так, то мы принимаем в качестве новой модели (4.15) и оцениваем ее параметры, например , по нелинейному МНК. Если это не так, то оценивается модель (4.16). Надо заметить, что (4.16) линейна по параметрам. Значит для оценки параметров этой модели можно применять обычный МНК.

      Следует отметить, что если лучшей спецификацией модели окажется (4.16) или (4.15), то нужно отказаться от гипотезы , что случайный член формируется авторегрессионным процессом. При этом тест Дарбина-Уотсона неприменим, но именно значение DW-статистики, не очень близкое к 2, может служить первым сигналом о наличии каких-либо проблем в спецификации модели.

      Возникает вопрос о количестве ограничений. До сих пор анализировалась модель с одной объясняющей переменой. В этом случае ограничение было только одно: . При наличии k объясняющих переменных количество ограничений тоже должно быть равным k если исходная модель имеет вид:

      

      где формируется на основе соотношения (2.2), то преобразованная модель будет представлена выражением:

      

      Таким образом, каждой объясняющей переменной соответствует ограничение, состоящее в том, что коэффициент при лаговом значении объясняющей переменной должен равняться произведению со знаком “-” коэффициента при текущем значении этой переменной и коэффициента при .

      Как же решить, какая спецификация лучше? Для данного случая подходит тестовая статистика

      

, где

RSS_R и RSS_U – необъясненные суммы квадратов отклонений соответственно в вариантах с ограничениями и без ограничений. В больших выборках, статистика (4.19) имеет распределение .

      Рассмотрим применение критерия (4.19) на примере.

      

      Порядок действий, описанный в этом примере будем называть общим факторным тестом.

      ВЫВОД: Если при оценивании модели мы получаем DW- статистику, которая явно указывает на автокорреляцию, то в первую очередь необходимо выполнить общий факторный тест, использую как преобразование по метолу Кохрана-Оркатта, так и МНК( т.е. оценить как вариант с ограничениями, так и вариант без ограничений ).Если ограничение не отклоняется, то нужно придерживаться варианта с ограничениями. Если ограничение отклоняется, то нужно исследовать в дальнейшем вариант без ограничений, внося в него новые усовершенствования. Например, не всегда необходимо сохранять все лаговые переменные.

      Возможен еще один вариант автокорреляции, возникающей из-за неправильной спецификации модели. Например, в модели была выявлена сильная автокорреляция. Однако, когда регрессия имеет вид , где X' определяется как 1/X, то автокорреляция исчезает. Самый прямой способ обнаружения автокорреляции, вызванной неправильной спецификации модели, заключается в непосредственном рассмотрении остатков. Это может дать представление о правильной спецификации модели. DW- статистика, не достаточно близкая к 2, тоже может сигнализировать о неправильной спецификации, хотя выполненная на ее основе проверка была бы не обоснованной, т.к. случайный член не соответствует автокорреляционному процессу.

Автокорреляция в модели с лаговой зависимой переменной

Вообще проблема автокорреляции в моделях с лаговыми переменными довольно широка.

      Мы рассмотрим автокорреляцию на примере следующей модели:

      

      Как и прежде случайный член в этой модели подвержен автокорреляционному процессу.

      Ранее для освобождения от автокорреляции и корректного применения МНК мы преобразовывали исходную систему наблюдений, добиваясь независимости случайного члена. Поступим так же и в случае с лаговой зависимой переменной.

      Для момента времени (t-1) . Домножим левую и правую части (4.21) на и из (4.20) вычтем (4.21). Получим следующее:

      

, где

      как и ранее нормально распределены с параметрами и независимы. В принципе, мы перешли к модели, где нет проблемы автокорреляции. Но заметим, что такая модель нелинейна по параметрам. Это означает, что мы не можем применить обычный МНК.

      

      Тогда поступим следующим образом. Применим метод нелинейного МНК. Он заключается в минимизации суммы квадратов ошибок. Т. е. В данном случае мы должны минимизировать следующую сумму по параметрам

      

      Таким образом, применяя метод нелинейного МНК для оценки параметров модели , мы попутно находим еще и оценку параметра автокорреляции. Естественно, эту оценку мы можем найти и методами, описанными ранее. Но следует заметить, что при наличии в модели лаговой зависимой переменной метод Кохрана-Оркатта скорее всего заведет в локальный, а не в глобальный минимум. Поэтому его не рекомендуется применять.

      Для исправления автокорреляции используется метод, описанный ранее. То есть, с помощью уже известной нам оценки параметра автокорреляции, мы переходим к измененной системе наблюдений. Такая модель уже будет лишена автокоррелированности ошибок. Для оценки параметров такой системы применяем нелинейный МНК.

      Для выявления автокорреляции в модели с лаговыми переменными подходит тест Дарбина, основанный на вычислении h-статистики, которая имеет вид:

где - оценка коэффициента автокорреляции , Var (b)-оцененная дисперсия коэффициента при лаговой зависимой переменной, а N-кличество наблюдений.

      Приблизительная оценка коэффициента автокорреляции получается из выражения (1-0,5 d), где d- обычная статистика Дарбина-Уотсона, а Var(b) – квадрат стандартной ошибки b.

      В больших выборках h распределяется как N(0;1), т.е. как нормальная переменная со средним значением 0 и дисперсией, равной 1. Следовательно, гипотеза отсутствия автокорреляции может быть отклонена при уровне значимости в 5%, если значение h-статистики по модулю больше 1,96, и при уровне 1%, если оно больше, чем 2,58.

      Основная проблема, связанная с применением теста Дарбина, состоит в том, что при Nvar(b)>1 значение h-статистики вычислить нельзя. Альтернативная процедура состоит в применении теста с множителем Лаграгжа.