1.5. Расчет доверительных интервалов

Рассчитанные значения показателей (коэффициенты a, b, r_y) являются

приближенными, полученными на основе имеющихся выборочных данных. Для оценки того, насколько точные значения показателей могут отличаться от рассчитанных, осуществляется построение доверительных интервалов.

Доверительные интервалы определяют пределы, в которых лежат точ­ные значения определяемых показателей с заданной степенью уверенности, со­ответствующей заданному уровню значимости а.

Для расчета доверительных интервалов для параметров a и b уравнения ли­нейной регрессии определяем предельную ошибку А для каждого показателя:

Величина t_ina6n представляет собой табличное значение t-критерия Стьюдента под влиянием случайных факторов при степени свободы k = n-2 и задан­ном уровне значимости а.

Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т. е. нижняя гра­ница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр прини­мается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положитель­ное, и отрицательное значения.

Для статистически значимого линейного коэффициента корреляции можно построить интервальные оценки с помощью Z-распределения Фишера:

(1.7)

Первоначально определяется интервальная оценка для z по выражению

где t_Y - значение случайной величины, подчиняющейся стандартному нор­мальному распределению, соответствующее вероятности у = 1 - α/2 (α - уро­вень значимости);

- значение Z-распределения Фишера, соответствующее по­лученному значению линейного коэффициента корреляции rxy.

Граничные значения доверительного интервала (r^- , r⁺) для r_xy получаются из граничных значений доверительного интервала (z^- , z+) для z с помощью функции, обратной Z-распределению Фишера

.

1.6. Точечный и интервальный прогноз по уравнению линейной регрессии

Точечный прогноз заключается в получении прогнозного значения j_p, ко­Л

торое определяется путем подстановки в уравнение регрессии со­ответствующего (прогнозного) значения x_p

Интервальный прогноз заключается в построении доверительного интер­вала прогноза, т. е. нижней и верхней границ y_pmin , y_pmax интервала, содержаще­го точную величину для прогнозного значения y_p (y_pmin < y_p < y_pmin). Довери­тельный интервал всегда определяется с заданной вероятностью (степенью уверенности), соответствующей принятому значению уровня значимости а.

Предварительно вычисляется стандартная ошибка прогноза m *

где

и затем строится доверительный интервал прогноза, т. е. определяются ниж­няя и верхняя границы интервала прогноза

где

1.7. Коэффициент эластичности

В экономических исследованиях широкое применение находит такой пока­затель, как коэффициент эластичности, вычисляемый по формуле

(1.8)

Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов изменится результат у при изменении фактора х на 1 % от своего номинального значения. Для линейной регрессии коэффициент эластичности равен

и зависит от x, поэтому рассчитывают средний коэффициент эластичности

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процен­тов в среднем по совокупности изменится результат у от своей величины при изменении фактора х на 1 % от своего значения.